查看“Β-二项式分布”的源代码

{{lowercase}}
{{Probability distribution | name = Β-二项式分布
  | pdf_image  =[[Image:Beta-binomial distribution pmf.png|190px|Probability density function for the beta-binomial distribution]]|


 | cdf_image  =[[Image:Beta-binomial cdf.png|190px|Cumulative probability distribution function for the beta-binomial distribution]]|


  | type       = 质量
  | parameters = ''n'' ∈ [[自然数|'''N'''<sub>0</sub>]] —试验次数<br /><math>\alpha > 0</math> （[[实数]]） <br /><math>\beta > 0</math> （[[实数]]）
  | support    = ''k'' ∈ { 0, …, ''n'' }
  | pdf        =<math>{n\choose k}\frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math>|
  | cdf        =   <math>1- \tfrac{\mathrm{B}(\beta+n-k-1,\alpha+k+1)_3F_2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};k)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)\mathrm{B}(n-k,k+2) (n+1)}</math>  <br/><br/>，其中<br><big><sub>3</sub>''F''<sub>2</sub>('''a''','''b''',k)</big>=<sub>3</sub>''F''<sub>2</sub>(1,''α''+''k''+1, -''n''+''k''+1,''k''+2, -''β''-''n''+''k''
+2,1)<br>是[[广义超几何分布]] 
|
  | mean       =<math>\frac{n\alpha}{\alpha+\beta}\!</math>|
  | median     =|
  | mode       = |
  | variance   =<math>\frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math>|
  | skewness   =<math>\tfrac{(\alpha+\beta+2n)(\beta-\alpha)}{(\alpha+\beta+2)}\sqrt{\tfrac{1+\alpha+\beta}{n\alpha\beta(n+\alpha+\beta)}}\!</math>|
  | kurtosis   = |
  | entropy    =|
  | mgf        =<math>_{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{t})\!</math> <br/> <math> \text{for } t<\log_e(2)</math>|
  | char       =<math>_{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{it})\!</math> <br/><math>\text{for } |t|<\log_e(2)</math>|


   }}


'''Β-二项式分布'''，或称'''贝塔-二项式分布'''，是[[概率论]]与[[统计学]]中的有限空间取值的一类离散型概率分布函数。它与一般二项式分布的不同之处，在于它虽然也是表示一系列已知次数的伯努利实验的成功概率，但其中的伯努利实验的常数变成了一个随机变量。作为[[ 过度散布]]的二项式分布，Β-二项式分布在[[贝叶斯统计]]、[[经验贝叶斯方法]]以及[[经典统计学]]中都常常用到。


当试验次数 ''n'' = 1 的时候，Β-二项式分布退化为[[伯努利分布]]，而在''α''&nbsp;=&nbsp;''β''&nbsp;=&nbsp;1 的时候，Β-二项式分布则退化为取值从0 到 ''n'' 的[[離散型均勻分佈]]。当 ''α'' 和 ''β'' 足够大的时候，它能够任意逼近[[二项式分布]]。Β-二项式分布也是[[多变量波利亚分布]]在一元时的情况，正如二项式分布和Β分布分别是[[多项分布]]和[[狄利克雷分布]]在一元时的情况一样。

==矩相关性质==
Β-二项式分布的前三个[[矩 (数学)|矩]]分别是：
:<math> 
 \begin{align} 
   \mu_1 & =\frac{n\alpha}{\alpha+\beta} \\[8pt]
   \mu_2 & =\frac{n\alpha[n(1+\alpha)+\beta]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)}\\[8pt]
   \mu_3 & =\frac{n\alpha[n^{2}(1+\alpha)(2+\alpha)+3n(1+\alpha)\beta+\beta(\beta-\alpha)]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)(2+\alpha+\beta)}
 \end{align}
</math>


而[[峰度]]则是：
:<math> 
   \gamma_2 = \frac{(\alpha + \beta)^2 (1+\alpha+\beta)}{n \alpha \beta( \alpha + \beta + 2)(\alpha + \beta + 3)(\alpha + \beta + n) } \left[ (\alpha + \beta)(\alpha + \beta - 1 + 6n) + 3 \alpha\beta(n - 2) + 6n^2 -\frac{3\alpha\beta n(6-n)}{\alpha + \beta} - \frac{18\alpha\beta n^{2}}{(\alpha+\beta)^2} \right].
</math>


设 <math>\pi=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \!</math> 那么数学期望可以表示成
:<math>
\mu = \frac{n\alpha}{\alpha+\beta}=n\pi
\!</math>


而方差则是：
:<math>
\sigma^2 = \frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
 = n\pi(1-\pi) \frac{\alpha + \beta + n}{\alpha + \beta + 1} = n\pi(1-\pi)[1+(n-1)\rho]
\!</math>


其中 <math> \rho= \tfrac{1}{\alpha+\beta+1}   \!</math> 是 ''n'' 个伯努利变量的关联系数，称为散布系数。

==参见==
* [[多变量波利亚分布]]


== 参考来源 ==
* Minka, Thomas P. (2003). [http://research.microsoft.com/~minka/papers/dirichlet/ Estimating a Dirichlet distribution]. Microsoft Technical Report.


==外部链接==
* [http://it.stlawu.edu/~msch/biometrics/papers.htm 使用Β-二项式分布来对生物识别设备的性能作出估计]



{{概率分布类型列表}}

[[Category:离散分布]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]