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{{Unreferenced|time=2014-05-28T09:58:21+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''一次方程'''也被稱為[[線性關係|线性]][[方程]]，因為在[[笛卡尔坐标系]]上任何一個一次方程的圖形都是一條[[直线]]。组成一次方程的每一[[表示式|项]]必須是[[常数]]或者是一个常數和一个[[变量]]的乘積。且方程中必須包含一个變量，因為如果没有變量只有常數，式子則是[[代数式]]而非[[方程|方程式]]。

如果一个一次方程中只包含一个变量（如x），那么该方程就是一元一次方程；如果包含两个變量（如x和y），那么就是一个二元一次方程；以此類推。

== 一元一次方程 ==

'''一元一次方程'''是指一个方程中仅含有一个[[变量]]（亦即[[未知数]]），且等号两边至少有一个一次[[单项式]]，且未知数的指数为<math>1</math>。

任意一个一元一次方程皆能化成<math>ax+b=0</math>（<math>a\ne 0</math>）的形式，它的解为<math>x=-\frac{b}{a}</math>。以下是一个例子：

:<math>3x-17=-17x+3</math>

它的解法是：

:<math>20x=20</math>（移项后合并同类项）
:<math>x=1</math>（两边同除以<math>20</math>）

一元一次方程是一个线性方程，二次项<math>x^2</math> 或二次以上的项是不容许出现的。

'''注意：'''当 <math>a=0</math> 时，
:<math>ax+b=0</math> 不是一元一次方程。
<math>0x=0</math>可以推出<math>0+b=b</math>。
如果 <math>b\ne 0</math>，此方程式无解；如果 <math>b=0</math>，则此方程式有无限多解。

== 二元一次方程组 ==
求解'''二元一次方程组'''可以使用代入消元法或加减消元法。

=== 代入消元法 ===
代入消元法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个[[一元一次方程]]的方法。

例如：
:<math>
\begin{cases}
2x-1=9 \\
x+y=36
\end{cases}
</math>

解
:<math>2x-1=9</math>

得
:<math>x=5</math>

再代入
:<math>x+y=36</math>

即
:<math>5+y=36</math>

从而求出
:<math>y=36-5=31</math>

=== 加减消元法 ===
加减消元法就是將两个方程相加或相减，从而消去其中一个未知数，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程的方法。

通常，我们先将其中一方程的两边同时乘以一个不是0的数，使其中一个未知数的系数与另外一个方程对应的系数相同，再将两个方程相加或相减。

例如：
:<math>
\begin{cases}
x+y=13 \\
2y-x=2
\end{cases}
</math>

把两式相加消去x，即
:<math>y+2y=13+2</math>

从而求出
:<math>y=5</math>

== 线性函数与线性化 ==
[[File:FuncionLineal02.svg|thumb|300px|right|这是一个二元一次方程组的坐标系表示图，蓝线与红线分别各自表示一个一元一次方程，两线相交处就是这个方程组的解]]

在上图的例子中（但不限于此例）变量<math>y\,</math>是变量<math>x\,</math>的[[函数]]，我们统一表示为<math>y=f(x)\,</math>。函数<math>y=f(x)\,</math>和方程<math>f(x)-y=0\,</math>的图形一致，二者形成一种对应关系。我们在线性化（[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Linearization Linearization]）等问题中习惯将一元一次方程称为线性方程，相应地，我们也把[[一元一次函数]]称为[[线性函数]]。

线性函数<math>y=f(x)\,</math>有如下特性： 
#<math>f(x + y) = f(x) + f(y)</math>
#<math>f(ax) = af(x)</math>
其中<math>a\,</math>是常数。

微分性质：
若线性函数表达式为 <math>y=kx+b</math>（<math>k\ne 0\,</math>），则 <math>\frac{dy}{dx}=k\,</math>，<math>\frac{d^{(n)}y}{dx^{(n)}}=0\,</math>（<math>n\geq 2</math>）。
由此可知，线性函数没有[[驻点]]，没有[[极值|极大值]]和[[极值|极小值]]，且线性函数的[[斜率]]就是未知数 <math>x\,</math> 的系数。

可以利用线性函数的图形对二元一次方程组进行求解，这类问题就是线性化问题。

== 参见 ==
* [[二次方程]]
* [[直線]] – [[斜率]]
* 一次[[不定方程]]
* [[微积分]] – [[微分]] – [[驻点]] – [[拐点]]
* [[格林函数]]

{{多項式}}

{{DEFAULTSORT:Y}}
[[Category:方程]]
[[Category:初等代数]]
[[Category:多項式]]