查看“一般线性模型”的源代码

{{回归侧栏}}

'''一般线性模型'''（general linear model, multivariate regression model）是一个统计学上常见的{{link-en|线性模型|Linear model}}。这个模型在[[计量经济学]]的应用中十分重要。不要与[[:en:Linear_regression#Simple_and_multiple_linear_regression|多元线性回归]]，[[廣義線性模型|广义线性模型]]或[[:en:Linear_regression#Simple_and_multiple_linear_regression|一般线性方法]]相混淆。

其公式一般写为：
: <math>\mathbf{Y} = \mathbf{X}\mathbf{B} + \mathbf{U},</math>

其中'''Y'''是一个包含反应变量的[[矩阵]]。'''X'''是一个包含独立自变量的[[设计矩阵]]。'''B'''是一个包含多个估计参数的矩阵。'''U''' 是一个包含[[误差]]和[[剩余项]]的矩阵。通常假设误差在测量之间是不相关的，并遵循多元正态分布。如果误差不遵循[[多元正态分布]]，则可以使用广义线性模型来放宽关于'''Y'''和'''U'''的假设。

一般线性模型包含许多不同的统计模型：[[方差分析|ANOVA]]，[[方差分析|ANCOVA]]，[[:en:Multivariate_analysis_of_variance|MANOVA]]，[[:en:Multivariate_analysis_of_covariance|MANCOVA]]，普通[[線性回歸|线性回归]]，[[學生t檢驗|t检验]]和[[F检验]]。一般线性模型是对多于一个因变量的情况的多元线性回归的推广。如果'''Y'''，'''B'''和'''U'''是列向量，则上面的矩阵方程将表示多元线性回归。

使用一般线性模型的假设检验可以通过两种方式进行：[[多变量正态分布|多变量]]或多个独立的[[:en:Univariate|单变量]]检验。在多变量测试中，Y的列一起测试，而在单变量测试中，'''Y'''列独立地测试，即作为具有相同设计矩阵的多个单变量测试。

<br />

==[[:en:General_linear_model|多元线性回归]]==
多元线性回归是[[:en:Simple_linear_regression|简单线性回归]]到多个自变量的概括，以及一般线性模型的特例，仅限于一个因变量。多元线性回归的基本模型是

<math>Y_i=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\beta_2X_{i2}+\beta_3X_{i3}+...+\beta_pX_{ip}+\varepsilon_i</math>

对于每个观察值，i = 1，...，n。

在上面的公式中，我们考虑n个观察一个因变量和p个独立变量。因此，<math>Y_i
</math>是因变量的第i 个观察值，<math>X_ij

</math>是对第j 个自变量的第i 个观察值，j = 1,2，...，p。值<math>\beta_j</math>表示参数进行估计，并且ε 我是我个独立同分布正常的错误。

在更一般的多元线性回归中，对于m > 1个因变量中的每一个，存在上述形式的一个等式，其共享相同的解释变量集并因此彼此同时估计：

<math>Y_{ij}=\beta_{0j}+\beta_{1j}X_{i1}+\beta{2j}X_{i2}+...+\beta_{pj}X_{ip}+\varepsilon_{ij}</math>

观察值 i = 1，...，n，因变量j = 1，...， m。

== 应用 ==
一般线性模型的应用出现在科学实验的多[[:en:Neuroimaging|脑扫描]]分析中，其中'''Y'''包含来自脑扫描仪的数据，'''X'''包含实验设计变量和混淆值。 它通常以单变量方式进行测试（在此设置中通常称为质量单变量），通常称为统计参数映射<ref>{{Cite journal|title=Statistical parametric mapping|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Statistical_parametric_mapping&oldid=854482395|date=2018-08-11|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>。
<br />

==註釋==
{{reflist}}

==參考文獻==
{{refbegin|2}}
* {{cite book
|title=Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models|last=Christensen|first=Ronald|location=New York|publisher=Springer|year=2002| edition=Third|isbn=0-387-95361-2}}
* {{cite book|last=Wichura|first=Michael J.|title=The coordinate-free approach to linear models|series=Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=2006|pages=xiv+199|isbn=978-0-521-86842-6|mr=2283455|ref=harv}}
* {{Cite journal | editor1-last = Rawlings | editor1-first = John O. | editor2-first = Sastry G. | editor3-first = David A. | doi = 10.1007/b98890 | title = Applied Regression Analysis | series = Springer Texts in Statistics | year = 1998 | isbn = 0-387-98454-2 | pmid =  | pmc = | editor2-last = Pantula | editor3-last = Dickey }}
{{refend}}

{{statistics}}

[[Category:多變量統計]]
[[Category:計量經濟學]]