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{{李群}}
{{Groups}}{{李群}}
在[[數學]]中，''n'' 次'''一般線性群'''是 ''n''×''n'' [[可逆矩陣]]的集合，和與之一起的普通[[矩陣乘法]]運算。這形成了一個[[群]]，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是[[線性相關性|線性無關]]的，因此它們定義的向量／點是在[[一般位置|一般線性位置]]上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。

为了使定义更明确，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。例如，在 '''R'''（[[實數]]集）上的一般線性群是實數的 ''n''×''n'' 可逆矩陣的群，并指示為 ''GL<sub>n</sub>''('''R''')或 ''GL''(''n'', '''R''')。

更一般的說，在任何[[域 (數學)|域]] ''F''（比如[[複數]]集）或[[環]] ''R''（比如[[整數]]集的環）上的 ''n'' 次一般線性群是帶有來自 ''F''（或 ''R''）的元素的 ''n''×''n'' 可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運算。<ref name="ring">這裡的環被假定為符合結合律和有乘法單位元的。</ref>典型符號是 ''GL''<sub>''n''</sub>(''F'')或 ''GL''(''n'', ''F'')，如果域是自明的也可簡寫為 ''GL''(''n'')。

更一般的說，[[#向量空間的一般線性群|向量空間的一般線性群]] ''GL''(''V'')仍是抽象[[自同構群]]，不必需寫為矩陣。

[[#特殊線性群|'''特殊線性群''']]，寫為 ''SL''(''n'', ''F'')或 ''SL''<sub>''n''</sub>(''F'')，是由[[行列式]] =1的矩陣構成的 ''GL''(''n'', ''F'')的[[子群]]。

群 ''GL''(''n'', ''F'')和它的子群經常叫做'''[[線性群]]'''或'''矩陣群'''（抽象群 ''GL''(''V'')是線性群但不是矩陣群）。這些群在[[群表示論|群表示]]理論中是重要的，并引發對空間[[對稱]]和一般[[向量空間]]對稱的研究，還有[[多項式]]的研究。[[模群]]可以實現為特殊線性群SL(2, '''Z''')的商群。

如果 ''n'' ≥ 2，則群 ''GL''(''n'', ''F'')不是[[阿貝爾群]]。

== 向量空間的一般線性群 ==

如果 ''V'' 是在域 ''F'' 上的[[向量空間]]，''V'' 的一般線性群，寫為GL(''V'')或Aut(''V'')，是 ''V'' 的所有[[群同構#自同構|自同構]]的群，就是說所有[[雙射]][[線性變換]] ''V'' → ''V'' 的集合，和與之一起的[[函數復合]]作為群運算。如果 ''V'' 有有限[[向量空间的维数|維]] ''n''，則GL(''V'')和GL(''n'', ''F'')是[[群同構|同構]]的。這個同構不是規范的；它依賴於在 ''V'' 中對[[基 (線性代數)|基]]的選擇。給定 ''V'' 的一個基 (''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>)和GL(''V'')中自同構 ''T''，有著
: <math>Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j</math>
對於某些 ''F'' 中的常量 ''a''<sub>''jk''</sub>；對應於 ''T'' 的矩陣就是由 ''a''<sub>''jk''</sub>作為元素的矩陣。

以類似的方式，對于交換環 ''R'' 群GL(''n'', ''R'')可以被解釋為 ''n'' 秩的[[自由模|自由]] ''R''-模的自同構的群。還可以對任何模定義GL(''M'')，但是這一般不同構於GL(''n'', ''R'')（對於任何 ''n''）。

== 依據行列式 ==

在域 ''F'' 上矩陣是[[可逆矩陣|可逆]]的，當且僅當它的[[行列式]]是非零的。因此GL(''n'', ''F'')的一個可替代定義是帶有非零行列式的矩陣。

在[[交換環]] ''R'' 上，必須稍微小心一下：在 ''R'' 上的矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是 ''R'' 中的[[可逆元]]，就是說它的行列式在 ''R'' 中是可逆的。因此GL(''n'', ''R'')可以被定義為行列式為可逆元的矩陣的群。

在非交換環 ''R'' 上，行列式表現不好。在這種情況下，GL(''n'', ''R'')可以定義為[[矩陣環]] M(''n'', ''R'')的[[單位群]]。

== 作為李群 ==
=== 實數情況 ===

在[[實數]]域上的一般線性群GL(''n'','''R''')是 ''n''<sup>2</sup>維實數[[李群 (數學)|李群]]。要得出這個結論，注意所有 ''n''×''n'' 實數矩陣的集合 ''M''<sub>''n''</sub>('''R''')形成了 ''n''<sup>2</sup>維[[向量空间|實向量空間]]。子集GL(''n'','''R''')由[[行列式]]為非零的矩陣構成。行列式是[[多項式]]映射，因此GL(''n'','''R''')是 ''M''<sub>''n''</sub>('''R''')的[[代數簇|開仿射子簇]]（''M''<sub>''n''</sub>('''R''')在[[扎里斯基拓扑]]下的[[非空集合|非空]][[開子集]]），并且因此<ref>
因為扎里斯基拓撲是比度量拓撲更[[最粗拓撲|粗]]；等價的說，多項式映射是[[連續函數 (拓撲學)|連續]]的。</ref>是相同維的[[光滑流形]]。

GL(''n'','''R''')的[[李代數]]由所有 ''n''×''n'' 實數矩陣構成并帶有[[交換子]]充當李括號。

作為一個流形，GL(''n'','''R''')不是[[連通空間|連通]]的而是由兩個[[連通空間|連通單元]]構成：有正行列式的矩陣們和有負行列式的矩陣們。单位分量（{{link-en|Identity component|Identity component}}）為GL<sup>+</sup>(''n'', '''R''')，由帶有正行列式的實數 ''n''×''n'' 矩陣構成。它也是 ''n''<sup>2</sup>維李群；它有同GL(''n'','''R''')一樣的李代數。 

群GL(''n'','''R''')也是[[緊緻空間|非緊緻]]的。GL(''n'', '''R''')的[[極大緊子群]]<ref>極大緊子群不是唯一而是[[本質唯一]]的。</ref>是[[正交群]] O(''n'')，而GL<sup>+</sup>(''n'', '''R''')的極大緊子群是[[特殊正交群]] SO(''n'')。至於SO(''n'')，群GL<sup>+</sup>(''n'', '''R''')不是[[單連通]]的（除了 ''n''=1的時候），然而有[[基本群]]，它對 ''n''=2同構於 '''Z''' 或者對 ''n''>2同構於 '''Z'''<sub>2</sub>。

=== 複數情況 ===

在[[複數]]集上的一般線性群GL(''n'','''C''')是複數維 ''n''<sup>2</sup>的複數李群。作為實數李群它有2''n''<sup>2</sup>維。所有實數矩陣的集合形成了實數李子群。

對應於GL(''n'','''C''')的[[李代數]]由所有 ''n''×''n'' 複數矩陣組成帶有[[交換子]]充當李括號。

不像實數情況，GL(''n'','''C''')是[[連通空間|連通]]的。部分的因為複數的乘法群 '''C'''<sup>×</sup>是連通的。群流形GL(''n'','''C''')不是緊緻的；而它的[[極大緊子群]]是[[酉群]] U(''n'')。至於U(''n'')，群流形GL(''n'','''C''')不是[[單連通]]的但有同構於 '''Z''' 的[[基本群]]。

== 在有限域上 ==

如果 ''F'' 是有 ''q'' 個元素的[[有限域]]，則我們有時寫GL(''n'', ''q'')替代GL(''n'', ''F'')。在 ''p'' 是質數的時候，GL(''n'', ''p'')是群Z<sub>''p''</sub><sup>''n''</sup>的[[外自同構群]]，并且還是[[群同構|自同構]]群，因為Z<sub>''p''</sub><sup>''n''</sup>是阿貝爾群，所以[[內自同構群]]是平凡的。

GL(''n'', ''q'')的階是：
:(''q''<sup>''n''</sup> - 1)(''q''<sup>''n''</sup> - ''q'')(''q''<sup>''n''</sup> - ''q''<sup>2</sup>)… (''q''<sup>''n''</sup> - ''q''<sup>''n''-1</sup>)

這可以通過計數矩陣的可能縱列數來證明：第一列可以是除了零向量的任何向量；第二列可以是除了第一列的倍數的任何向量；并且一般的說第 ''k'' 列可以是非前 ''k''-1列的[[線性張成]]的任何向量。

例如，GL(3,2)有階 (8-1)(8-2)(8-4)=168。它是[[Fano平面]]和群Z<sub>2</sub><sup>3</sup>的自同構群。

更一般的說，可以計數 ''F'' 上的[[格拉斯曼空间]]的點：換句話說就是給定維 ''k'' 的子空間的數目。這只要求找到一個這種子空間的[[穩定子]]子群（在那個頁面中以[[分塊矩陣]]形式描述），并通過[[軌道-穩定子定理]]劃分成剛才給出的公式。

這些公式有聯繫於格拉斯曼空间的[[舒伯特分解]]，并且是複格拉斯曼空间的[[貝蒂數]]的[[q-analog]]。這是導致[[韦伊猜想]]的線索之一。

== 特殊線性群 ==
{{main|特殊線性群}}

特殊線性群SL(''n'', ''F'')是帶有[[行列式]]為1的所有矩陣的群。它們是特殊的因為它們位于[[子簇]]之上–它們滿足一個多項式方程（因為行列式是元素的多項式）。這種類型的矩陣形成一個群，因為兩個矩陣的乘積的行列式是每個矩陣的行列式的乘積。SL(''n'', ''F'')是GL(''n'', ''F'')的[[正規子群]]。

如果我們把 ''F''（排除0）的[[乘法群]]寫為 ''F''<sup>×</sup>，則行列式是[[群同態]]
:det: GL(''n'', ''F'') → ''F''<sup>×</sup>。
這個映射的[[核 (代數)|核]]就是特殊線性群。通過[[第一同構定理]]我們得出GL(''n'',''F'')/SL(''n'',''F'') [[群同構|同構]]於 ''F''<sup>×</sup>。事實上，GL(''n'', ''F'')可以寫為SL(''n'', ''F'')與 ''F''<sup>×</sup>的[[半直積]]：
:GL(''n'', ''F'') = SL(''n'', ''F'') ⋊ ''F''<sup>×</sup>

在 ''F'' 是 '''R''' 或 '''C''' 的時候，SL(''n'')是 ''n''<sup>2</sup> − 1維的GL(''n'')的[[李群 (數學)|李群]]。SL(''n'')的[[李代數]]由所有在 ''F'' 上的 ''n''×''n'' 矩陣構成帶有成為零的[[跡數]]。李括號給出為[[交換子]]。

特殊線性群SL(''n'', '''R''')可以被刻畫為保持[[體積]]和[[定向 (數學)|定向]]的 '''R'''<sup>''n''</sup>的線性變換的群。

群SL(''n'', '''C''')是單連通的而SL(''n'', '''R''')不是。SL(''n'', '''R''')有同GL<sup>+</sup>(''n'', '''R''')一樣的基礎群，就是對 ''n''=2為 '''Z''' 或者對 ''n''>2為 '''Z'''<sub>2</sub>。

== 其他子群 ==
=== 對角子群 ===

所有可逆[[對角矩陣]]的集合形成了同構於 (''F''<sup>×</sup>)<sup>''n''</sup>的GL(''n'', ''F'')的子群。在域如 '''R''' 和 '''C''' 中，這些對應於縮放這個空間；也就是擴張或收縮它。

'''標量矩陣'''是作為常量倍的[[單位矩陣]]的對角矩陣。所有非零標量矩陣的集合形成了同構於 ''F''<sup>×</sup>的GL(''n'', ''F'')的子群。這個群是GL(''n'', ''F'')的[[中心 (群論)|中心]]。特別是，它是正規阿貝爾子群。

SL(''n'', ''F'')的中心是帶有單位行列式的所有標量矩陣的集合，并同構於在域 ''F'' 中 ''n'' 次[[單位根]]的群。

=== 典型群 ===

所謂的典型群是保持某種在向量空間 ''V'' 上的[[雙線性形式]]的GL(''V'')的子群。這包括
* '''[[正交群]]''' O(''V'')，它保持在 ''V'' 上的[[退化形式|非退化]][[二次型]]，
* '''[[辛群]]''' Sp(''V'')，它保持在 ''V'' 上的[[辛向量空間|辛形式]]（非退化反对称2形式），
* '''[[酉群]]''' U(''V'')，它在 ''F'' = '''C''' 的時候保持在 ''V'' 上的非退化[[hermitian形式]]。
這些群提供了李群的重要例子。

== 有關的群 ==
=== 射影線性群 ===

[[射影線性群]] PGL(''n'', ''F'')和[[射影特殊線性群]] PSL(''n'',''F'')是GL(''n'',''F'')和SL(''n'',''F'')模以[[中心 (群論)|中心]]（它由某些倍數的單位矩陣的構成）的[[商群]]。

=== 仿射群 ===
{{main|仿射群}}

[[仿射群]] Aff(''n'',''F'')是通過在 ''F''<sup>''n''</sup>中的轉換的GL(''n'',''F'')的[[群擴張]]，它可以寫為[[半直積]]：
:Aff(''n'', ''F'') = GL(''n'', ''F'') ⋉ ''F''<sup>''n''</sup>
這裡的GL(''n'', ''F'')自然方式作用在 ''F''<sup>''n''</sup>上。仿射群可以被看作在向量空間 ''F''<sup>''n''</sup>底層的[[仿射空間]]的所有[[仿射變換]]的群。

它有類似於一般線性群的其他子群的結構：例如，[[特殊仿射群]]是半直積SL(''n'', ''F'') ⋉ ''F''<sup>''n''</sup>定義的子群，而[[龐加萊群]]是與[[洛倫茲群]] O(1,3,''F'') ⋉ ''F''<sup>''n''</sup>關聯的仿射群。

== 無限一般線性群 ==

'''無限一般線性群'''或'''[[方向極限|穩定]]一般線性群'''是包含<math>\operatorname{GL}(n,F) \to \operatorname{GL}(n+1,F)</math>為上左[[分塊矩陣]]的[[方向極限]]。它指示為要么<math>\operatorname{GL}(F)</math>要么<math>\operatorname{GL}(\infty,F)</math>，并可以解釋為只與單位矩陣差異有限多個位置的可逆無限矩陣的集合。

它被用在[[代數K-理論]]中定義[[代數K-理論#K1|K<sub>1</sub>]]，并且在實數上有[[博特周期性定理]]貢獻的被良好理解了的拓撲。

== 注釋 ==

<references />

== 參見 ==

* [[群表示論]]
* [[有限單群列表]]
* [[SL2(R)|SL<sub>2</sub>('''R''')]]
* [[SL2(R)的表示論|SL<sub>2</sub>('''R''')的表示論]]

== 進一步閱讀 ==

* [http://demonstrations.wolfram.com/GL2PAndGL33ActingOnPoints/ "GL(2,p) and GL(3,3) Acting on Points"] by [[Ed Pegg, Jr.]]，[[The Wolfram Demonstrations Project]]，2007.

[[Category:群表示论|Y]]
[[Category:线性代数]]
[[Category:李群]]