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[[File:Deltoid2.gif|right|thumb|400px|紅色的即為三尖瓣线]]

'''三尖瓣线'''（tricuspoid）也稱為'''Steiner曲線'''（Steiner curve）<!--或（deltoid）-->，是有三個[[尖點]]的[[圆内螺线]]，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的[[一般旋轮线]]<!--It is named after the Greek letter [[Delta (letter)|delta]] which it resembles.-->

三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合<ref>[http://www.se16.info/js/halfarea.htm]</ref>。

==方程式==
三尖瓣线可以用以下的[[參數方程]]表示：
:<math>x=(b-a)\cos(t)+a\cos\left(\frac{b-a}at\right) \,</math>
:<math>y=(b-a)\sin(t)-a\sin\left(\frac{b-a}at\right) \, ,</math>
其中''a''是小圓的半徑，b是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處''b = 3a''）。

在複變座標下可得
:<math>z=2ae^{it}+ae^{-2it}</math>.

上述的''t''可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程
:<math>(x^2+y^2)^2+18a^2(x^2+y^2)-27a^4 = 8a(x^3-3xy^2),\,</math>
因此三尖瓣线是四階的[[代數曲線]]，在[[極坐標]]下為
:<math>r^4+18a^2r^2-27a^4=8ar^3\cos 3\theta\,.</math>
曲線有三個奇點，是對應<math>t=0,\, \pm\tfrac{2\pi}{3}</math>的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其{{le|幾何虧格|geometric genus}}為零。
<!--
A line segment can slide with each end on the deltoid and remain tangent to the deltoid. The point of tangency travels around the deltoid twice while each end travels around it once.-->

三尖瓣线的{{le|對偶曲線|dual curve}}為
:<math>x^3-x^2-(3x+1)y^2=0,\,</math>
在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉y ↦ iy，曲線會變為下式，就可以看到其二重點
:<math>x^3-x^2+(3x+1)y^2=0\,</math>
在實平面的原點上有二重點。
==面積及周長==

三尖瓣线的面積為<math>2\pi a^2</math>，其中''a''為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍<ref name=Weisstein>Weisstein, Eric W. "Deltoid." From [[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html</ref>。

其周長為16''a''<ref name=Weisstein/>。

==歷史==
早在1599年時，[[伽利略·伽利莱]]及[[马兰·梅森]]就已開始研究常見的[[摆线]]，而[[奧勒·羅默]]在1674年研究齒輪的最佳外形時，也有用到摆线。[[李昂哈德·歐拉]]認為他是最早（1745年）將三尖瓣线應用在實際光學問題的人。
== 應用 ==
三尖瓣线有應用在許多的數學領域中，舉例如下：

* 三維{{le|unistochastic|unistochastic}}矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣线。
<!--* A cross-section  of the set of  [[unistochastic]] matrices of order three forms a deltoid.-->
* SU(3)[[群]]裡所有[[酉矩阵]]的可能跡的集合會組成三尖瓣线。
* 二個三尖瓣线的交集會形成一群6階的{{le|複數Hadamard矩陣|Complex Hadamard matrix}}。
* 三角形的所有[[西姆松定理|西姆松線]]的集合，其[[包絡線]]會是三尖瓣线。因為{{le|Jakob Steiner|Jakob Steiner}}在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性，因此此曲線稱為這稱為Steiner三尖瓣线，<ref>Lockwood</ref>。
* 三角形[[平分線|面積平分線]]的[[包絡線]]會是三尖瓣线，三個頂點是[[中線]]的中點。三尖瓣线的三邊是[[双曲线]]的弧<ref>Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," ''[[Mathematical Gazette]]'' 56, May 1972, 105-108.</ref><ref> [http://www.se16.info/js/halfarea.htm]</ref>。
* 三尖瓣线屬於{{le|掛谷集|Kakeya set}}中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

==相關條目==
*[[星形线]]：有三個尖點的圆内螺线
*{{le|伪三角形|Pseudotriangle}}
*[[勒洛三角形]]
*[[超橢圓]]

==参考资料==
{{reflist}}
* {{cite book | author=E. H. Lockwood| title=A Book of Curves | publisher=Cambridge University Press | year=1961| chapter=Chapter 8: The Deltoid }}
* {{cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=131–134 }}
* {{cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 52}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Tricuspoid.html "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index]
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/deltoid/deltoid.shtml "Deltoid" at MathCurve]
*{{springer|title=Steiner curve|id=S/s087650|last=Sokolov|first=D.D.}}
[[Category:曲線]]
[[Category:代數曲線]]