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'''不可約元素'''是[[抽象代數]]中的名詞，是指在[[整环]]中一個非零、非[[单位 (环论)|单位]]的元素，而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。

==不可約元素和質元素的關係==
不可約元素和[[質元素]]不同，[[交换环]]<math>R</math>內的非零、非单位元素<math>a</math>為質元素，表示若在交換環<math>R</math>內存在<math>b</math>及<math>c</math>，使得<math>a | bc</math>，則<math>a|b</math>或<math>a|c</math>必定有一個成立。

在[[整环]]中，每一個質元素都是不可約元素<ref>考慮<math>p</math>為一個可約的質元素：<math>p=ab.</math>，則<math>p | ab \Rightarrow p | a</math>或<math>p | b</math>。假如<math>p | a \Rightarrow a = pc,</math>則可得<math>p=ab=pcb \Rightarrow p(1-cb)=0.</math>。因為<math>R</math>為整環，因此可得<math>cb=1.</math>。因此<math>b</math>為單位元素，而<math>p</math>是不可約元素。</ref><ref name=Sha54>Sharpe (1987) p.54</ref>，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在[[唯一分解整環]]（或範圍更廣的[[GCD環]]）中的不可約元素才一定是質元素。

再者，一個用質元素產生的[[理想 (環論)|理想]]為[[素理想]]，但由不可約元素產生的理想一般不會是{{le|不可約理想|irreducible ideal}}。不過，若<math>D</math>為GCD環，且<math>x</math>為<math>D</math>環中的不可約元素，則產生的理想會是[[素理想]]<ref>{{cite web|url=http://planetmath.org/encyclopedia/IrreducibleIdeal.html |title=planetmath Irreducible Ideal |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100620170712/http://planetmath.org/encyclopedia/IrreducibleIdeal.html |archivedate=2010-06-20 }}</ref>。

== 舉例 ==
在{{le|二次整數環|quadratic integer ring}}<math>\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]</math>中，可以用[[範數 (域論)|範數]]證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為 
:<math>3 \mid \left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)=9,</math> 

但 <math>3</math> 無法整除 <math>2 + \sqrt{-5}</math>，也無法整除 <math>2 - \sqrt{-5}</math>。<ref>{{cite book |author=William W. Adams and Larry Joel Goldstein |year=1976 |title=''Introduction to Number Theory''|pages=250 |publisher=Prentice-Hall, Inc. |isbn=0-13-491282-9}}</ref>

==相關條目==
* [[不可約多項式]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}
* {{cite book | last=Sharpe | first=David | title=Rings and factorization | zbl=0674.13008 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1987 | isbn=0-521-33718-6 }}
{{DEFAULTSORT:Irreducible Element}}
{{代数小作品}}
[[Category:環論]]