查看“不定式 (數學)”的源代码

{{translating|[[:en:Indeterminate form]]|time=2017-12-23T02:11:28+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[微積分]]和[[數學分析]]的其他[[分支]]中，'''不定式'''（又稱'''未定式'''）是指這樣一類[[極限 (數學)|極限]]，其在按[[極限 (數學)#常用性質|極限的運算規則]]進行[[代数|代入]]後，還未能得到足夠[[信息]]去確定[[極限值]]。这个[[术语]]最初由[[奥古斯丁·路易·柯西|柯西]]的学生{{link-fr|穆瓦尼奧|Abbé Moigno}}在[[19世紀]]中葉提出。常見的不定式有：<math>\frac00,~\frac{\infty}{\infty},~0\times\infty,~1^\infty,~\infty-\infty,~0^0\text{ 和 }~\infty^0</math>。
處理計算未定式的值常見的方法為使用[[羅必達法則]]。

==例子==
;0除以0
<math>\frac{0}{0}</math> 是不定式。

;0的0次方
<math>0^0</math>也是不定式。在不同軟件中，有不同的處理規則，有些定義為1，有些視為「沒有定義」。

在數學上，當<math>x</math>趨向<math>0^+</math>，<math>x^x</math>的極限是1。
:<math> \lim_{x \to 0^+} 0^x = 0  \qquad </math> 
:<math> \lim_{x \to 0^+} x^0 = 1  \qquad </math>
:<math> \lim_{x \to 0^+} x^x = 1  \qquad </math>

在[[幂级数]]和[[微積分]]中，有時候必須定義<math>0^0=1</math>，等式才會成立。

在[[二項式定理]]中，當<math>x=0</math>，右式會出現<math>0^0</math>。
:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k</math>

[[微分學]]的[[冪法則]]，在<math>n=1</math>及<math>x=0</math>的情況下，也會出現<math>0^0</math>。
:<math>\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}</math>

==物理==
在[[物理学]]上这是有一定的[[解释]]。比如说[[电阻]][[定义]] <math>R=\frac{V}{I}</math>，当[[电压]]和[[电流]]都为 <math>0</math> 时 <math>R</math> 的{{tsl|en|Value (mathematics)|值}}存在[[不确定性]]。

例如，极限
:<math>\lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)}</math>  <math>f(c)=g(c)=0\,</math>。若 <math>f(x)\,</math> 等于 <math>g(x)\,</math>，极限为一；若 <math>f(x)\,</math> [[等于]] <math>g(x)\,</math> 的[[倍数|两倍]]，则极限为二。

更一般地，<math>\frac00</math> 的极限可以通过[[洛必达法则]]求得。

== 不定式列表 ==

下表中列出了最常见的不定式，可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。

{| border=1 class="wikitable" style="background-color: #ffffff; width: 85%;"
!不定式
!条件
!变换到0/0
!变换到∞/∞
|-
|<math>0/0</math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<center>&mdash;</center>
|<math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|-
|<math>\infty/\infty</math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|<center>&mdash;</center>
|-
|<math>0\cdot\infty</math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \! </math>
|-
|<math>\infty - \infty</math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \! </math>
|-
|<math>0^0</math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|-
|<math>1^\infty</math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = 1,\  \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|-
|<math>\infty^0</math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\  \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! </math>
|<math> \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! </math>
|}



[[Category:数学分析]]
[[Category:极限]]