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{{NoteTA|G1=Math}}
{{distinguish|介值定理}}
{{中值定理}}
{{微積分學}}

在[[數學分析]]中，'''均值定理'''（mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。

更仔細點講，假設函數 <math>f</math> 在閉區間 <math>[a,b]</math> 連續且在開區間 <math>(a,b)</math> 可微，則存在一點<math>c,\, a<c<b</math>，使得

:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>。

中值定理包括[[微分中值定理]]和[[积分中值定理]]。

== 微分中值定理 ==
微分中值定理分为[[罗尔中值定理]]、[[拉格朗日中值定理]]和[[柯西中值定理]]，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微[[曲线]]，兩端點之中必然有一点，它的[[斜率]]與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

當提到'''均值定理'''時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。
=== 罗尔中值定理 ===
[[File:罗尔定理.jpg|thumb|罗尔定理的几何意义]]
{{main|罗尔定理}}
如果[[函数]]<math>f(x)</math>满足
# 在闭[[区间]]<math>[a,b]</math>上[[连续]]；
# 在开区间<math>(a,b)</math>内可导；
# 在区间端点处的函数值相等，即<math>f(a)=f(b)</math>，

那么在<math>(a,b)</math>内至少有一点<math>\xi (a<\xi<b)</math>，使得<math>f^\prime(\xi)=0</math>。这个定理称为'''罗尔定理'''。

=== 拉格朗日中值定理(均值定理) ===
[[File:Mittelwertsatz6.svg|300px|thumb|拉格朗日中值定理的几何意义]]
{{main|拉格朗日中值定理}}
令<math>f:[a,b]\rightarrow \mathbf R</math>为闭[[区间]]<math>[a,b]</math>上的一个[[连续函数]]，且在开区间<math>(a,b)</math>内[[可导]]，其中<math>a<b</math>那么在<math>(a,b)</math>上存在某个<math>c</math>使得

:<math>f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>。

此定理称为'''拉格朗日中值定理'''，也簡稱'''均值定理'''，是[[罗尔定理|罗尔中值定理]]的更一般的形式，同时也是[[柯西中值定理]]的特殊情形。

这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设 <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> 在 <math>[a,b]</math> [[连续函数|连续]]，且在開區間 <math>(a,b)</math> 内对任意一點 <math>x</math>，[[极限 (数学)|极限]]

:<math>\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于<math>f'(x)</math>。這版本定理应用的一个例子是函數 <math>x \to x^{1/3}</math>，实值三次方根函数，其[[导数]]在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數，則上面这定理就未必正确。例如，对實數 <math>x</math> 定义<math>f(x)=e^{ix}</math>。那么

:<math>f(2\pi)-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi - 0)</math>

因<math>|f'(x)| = 1\neq 0</math> 时，<math>c</math> 為開區間 <math>(0, 2\pi)</math> 中任意一點。

=== 柯西中值定理 ===
'''柯西中值定理'''，也叫'''拓展中值定理'''，是中值定理的一般形式。它叙述为：如果函数 ''f'' 和 ''g'' 都在闭区间[''a'',''b''] 上连续，且在开区间 (''a'','' ''b) 上可微，那么存在某个 ''c'' ∈ (''a'',''b''),使得
[[File:Cauchy.svg|thumb|306px|柯西定理的几何意义]]

:<math>(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,</math>

当然，如果{{nowrap|''g''(''a'') ≠ ''g''(''b'')}} 且 {{nowrap|''g′''(''c'') ≠ 0}}，則可表示成：

:<math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>。

在几何上，这表示[[曲线]]

:<math>\begin{cases}[a,b] \to \mathbb{R}^2\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}</math>

上存在一點其切線平行于由兩點 (''f''(''a''),''g''(''a'')) 和 (''f''(''b''),''g''(''b'')) 所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在，因为可能存在一些''c''值使 {{nowrap|''f′''(''c'') {{=}} ''g′''(''c'') {{=}} 0}}，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

:<math>t\mapsto (t^3,1-t^2),</math>

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0)，却并无一个水平切线，然而它有一个驻点(实际上是一个[[尖点]])在 {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}。

柯西中值定理可以用来证明[[洛必达法则]]. (拉格朗日)均值定理是柯西中值定理当{{nowrap|''g''(''t'') {{=}} ''t''}}时的特殊情况。

== 积分中值定理 ==
[[积分中值定理]]分为[[积分第一中值定理]]和[[积分第二中值定理]]，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。
=== 积分第一中值定理 ===

设<math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb R</math>为一连续函数，<math>g:[a,b]\rightarrow \mathbb R</math>要求<math>g(x)</math>是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点<math>\xi\in [a,b]</math>使得

: <math>\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx</math>。

==== 证明 ====
在不失去一般性的条件下，设对所有<math>x</math>，有<math>g(x) \geq 0</math>；
因为<math>f</math>是闭区间上的连续函数，<math>f</math>取得最大值<math>M</math>和最小值<math>m</math>。于是
: <math>mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)</math>。
对不等式求积分，我们有
: <math>m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx</math>。
若<math>\int_a^b g(x)\,dx=0</math>，则<math>\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0</math>。<math>\xi</math>可取<math>[a,b]</math>上任一点。

若不等于零那么<math>\int_a^b g(x)\,dx>0</math>，
: <math>m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M </math>。
因为<math>m\leq f(x)\leq M</math>是连续函数，则必存在一点<math>\xi\in [a,b]</math>，使得
: <math>f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}</math>。

<math>g(x)<0</math>的情况按同样方法证明。

[[File:积分中值定理.jpg|300px|thumb|积分第一中值定理推论的几何意义]]

==== 推论（拉格朗日中值定理的积分形式） ====
在上式中令<math>g(x)=1</math>，则可得出：

设<math>f:[a,b]\rightarrow \mathbf R</math>为一连续函数，则∃<math>\xi \in [a,b]</math>，使

: <math>f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}</math>

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设<math>F(x)</math>在<math>[a,b]</math>上可导，<math>f(x)=F^\prime(x)</math>，则∃<math>\xi \in [a,b]</math>，使

: <math>f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}</math>

=== 积分第二中值定理 ===
[[积分第二中值定理]]与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的'''积分中值定理'''。它可以用来证明[[Dirichlet-Abel反常Rieman积分判别法]]。
==== 内容 ====
若f,g在[a,b]上[[黎曼可积]]且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使
:<math>\int\limits_a^b {f(x)g(x)dx = } f(a)\int\limits_a^\xi  {g(x)dx + } f(b)\int\limits_\xi ^b {g(x)dx}</math>；

==== 退化态的几何意义 ====
[[File:Geometric explanation of the second mean value theorem for integration.jpg|thumb|400px|第二积分中值定理退化形式的几何意义]]
令g(x)=1，则原公式可化为：
:<math>\int\limits_a^b {f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)</math>；
进而导出：
:<math>\int\limits_a^\xi {f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int\limits_\xi^b {f(x)dx}</math>；

此时易得其几何意义为：
能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

== 名稱 ==
這定理（mean value theorem）有兩種翻譯：-{'''均值定理'''}-跟-{'''中值定理'''}-，與數學分析中另一重要定理：intermediate value theorem（翻譯成[[中間值定理]]或介值定理）容易混淆，請小心。


== 参见 ==
* [[罗尔定理]]
* [[柯西中值定理]]
* [[介值定理]]
* [[极值定理]]

[[Category:微积分]]
[[Category:数学定理|Z]]