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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代数]]中，[[群]]<math>G</math>的'''中心'''<math>Z\left(G\right)</math>是所有在<math>G</math>中和<math>G</math>的所有元素[[可交换]]的元素的集合，也就是：
:<math>Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}</math>

注意<math>Z\left(G\right)</math>是一个<math>G</math>的[[子群]]：若<math>x</math>和<math>y</math>在<math>Z\left(G\right)</math>中，则<math>\left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad\forall g\in G </math>，故<math>xy</math>也在<math>Z\left(G\right)</math>中。同样的论证对于逆操作也成立。

而且，<math>Z\left(G\right)</math>是一个<math>G</math>的[[阿贝尔群|可交换子群]]，也是<math>G</math>的[[正规子群]]，甚至是<math>G</math>的严格[[特征子群]]，但不总是完全特征的。

<math>G</math>的中心是整个<math>G</math>[[当且仅当]]<math>G</math>是可交换群。另一个极端是，若<math>Z\left(G\right)</math>是平凡群，群可以是'''无中心的'''。

考虑映射<math>\Phi:G\rightarrow\operatorname{Aut}\left(G\right)</math>，这是到<math>G</math>的[[自同构群]]的映射，定义为：
:<math>G</math>中每个元素<math>G</math>在<math>\Phi</math>下的像是自同构<math>h\longmapsto ghg^{-1}</math>。<math>\Phi</math>的[[核 (代数)|核]]是<math>G</math>的中心，而<math>\Phi</math>的像称为<math>G</math>的[[内自同构群]]，记为<math>\operatorname{Inn}\left(G\right)</math>，按照[[第一同构定理]]：<math>G/Z\left(G\right)\cong\operatorname{Inn}\left(G\right)</math>。

== 例子 ==
[[正交群]]<math>O\left(n\right)</math>的中心是<math>\left\{I,-I\right\}</math>。

== 参见 ==
* [[中心 (代数)]]
* [[中心化子和正规化子]]
* [[共轭类]]

{{ModernAlgebra}}
[[Category:群论|Z]]