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'''中線定理'''，又稱'''阿波羅尼奧斯定理'''，是[[歐氏幾何]]的定理，表述[[三角形]]兩邊和[[中線]]長度關係。它[[逻辑等价|等價]]於[[平行四邊形恆等式]]。

== 中線定理 ==
對任意三角形<math>\triangle ABC</math>，設<math>I</math>是線段<math>BC</math>的中點，<math>AI</math>為中線，則有如下關係：

<math>AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,</math>

=== 證明 ===
用[[萊布尼茨函數|萊布尼茨標量函數]]約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入<math>I</math>：
: <math>AB^2 + AC^2 =\left |\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\right |^2 + \left |\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}\right |^2</math>
得出
: <math>AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{IC}</math>
<math>I</math>是<math>BC</math>的中點，因此<math>\overrightarrow{IB}</math>和<math>\overrightarrow{IC}</math>相反，可知式中兩個標積抵消。又因<math>IC^2 = IB^2</math>，得出
: <math>AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2 \,</math>

=== 另一個證法 ===
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這可能是[[阿波羅尼奧斯]]的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：
設<math>H</math>是從<math>A</math>到<math>BC</math>的垂足，則<math>\triangle BHA</math>和<math>\triangle AHC</math>是直角三角形。用[[勾股定理]]可得
: <math>AB^2 = BH^2 + AH^2 \,</math>
: <math>AC^2 = AH^2 + HC^2\,</math>
: <math>AI^2 = IH^2 + AH^2\,</math>
所以
: <math>AB^2 + AC^2 = BH^2 + 2AH^2 + HC^2\, </math>
把<math>BH</math>和<math>HC</math>用<math>BI</math>和<math>IH</math>表達出來（記得<math>I</math>是<math>BC</math>的中點，因此<math>BI=IC</math>）。注意到雖然現在的情形假設<math>H</math>在線段<math>BI</math>上，但其他情形也可以用這個方法。
: <math>BH = BI - IH \,</math>
: <math>HC = IC + IH = BI + IH\,</math>
代入前式：
: <math>AB^2 + AC^2 = (BI-IH)^2 + 2AH^2 + (BI+IH)^2 \, </math>
: <math>AB^2 + AC^2 = BI^2 - 2BI\cdot IH+ IH^2 + 2AH^2 + BI^2 + 2BI\cdot IH + IH^2\, </math>
: <math>AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2IH^2 + 2AH^2 = 2BI^2 + 2(IH^2 + AH^2) \,</math>
現在<math>\triangle IHA </math>是直角三角形，因此
: <math>IH^2 + AH^2 = AI^2\,</math>
代入前式得出
: <math>AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,</math>

== 中線的向量表達式 ==
設<math>I</math>是線段<math>BC</math>的中點，則有<math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}</math>

== 中線的另一條定理 ==
用標積表示<math>AB^2 - AC^2 = 2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IH}</math>，其中<math>H</math>是<math>A</math>到線<math>BC</math>的垂足。

從上得到中線的另一條定理<math> \left| AB^2 - AC^2 \right| = 2 BC \times IH </math>。

實際上
:<math>AB^2 - AC^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AI}\cdot(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB}</math>

<math>\overrightarrow{AI}</math>投影在<math>\overrightarrow{BC}</math> 上是<math>\overrightarrow{HI}</math>，因而有<math>\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{CB}  = \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IH}</math>.

這兩個共線向量的標積可等於<math>BC \times IH \,</math>或其負數，因此取絕對值。

== 參見 ==
* [[閉凸集投影定理]]，中線定理是這定理的證明關鍵。
* [[平行四邊形恆等式]]

[[Category:幾何定理]]
[[Category:初等几何]]
[[Category:三角形几何]]