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[[数学]]上，一个'''G主丛(principal ''G''-bundle)'''是一种特殊的[[纤维丛]]，其纤维为[[拓扑群]]''G''的作用的[[扭子]]（torsor）（也称为[[主齐性空间]]）。主''G''丛是''G''丛，因为群''G''也是丛的[[结构群]]。

主丛在[[拓扑学]]和[[微分几何]]中有重要应用。他们在[[物理学]]中也有应用，他们组成了[[规范理论]]的基础框架的一部分。主丛为纤维丛的理论提供了一个统一的框架，因为所有纤维丛及其结构群''G''决定了一个唯一的主''G''丛，从该主丛可以重建原来的那个丛。

==形式化定义==

一个主''G''丛是一个[[纤维丛]]&pi; : ''P'' &rarr; ''X'' ，及一个[[拓扑群]]''G''的[[连续]][[群作用|右作用]]''P'' &times; ''G'' &rarr; ''P''，该作用保持''P''的纤维不变并在纤维上自由和推移式的作用。（经常会要求基空间''X''是[[豪斯多夫空间]]，还可能要求[[仿緊空間|仿紧]]）。丛的抽象纤维取为''G''本身。

由此可知，''G''作用的[[轨道 (群论)|轨道]]正好就是&pi; : ''P'' &rarr; ''X''的纤维而轨道空间''P''/''G''和基空间''X''[[同胚]]。要求''G''在纤维上自由和推移的作用意味着纤维具有[[主齊性空間|''G''-旋子]]的结构。一个''G''-旋子是同胚于''G''的空间但没有群的结构，因为它没有一个特定的[[单位元]]的选择。

主''G''丛的局部平凡化必须是''G''[[等变]]（equivariant）映射，使得纤维的''G''-旋子结构得到保持。确切地说，这表示如果
:<math>\phi : \pi^{-1}(U) \to U \times G\,</math>
是一个有<math>\phi(p) = (\pi(p),\psi(p))</math>形式的局部平凡化，则
:<math>\phi(p\cdot g) = (\pi(p),\psi(p)g).</math>

主丛也可定义在[[光滑流形]]的[[范畴]]中。这里&pi; : ''P'' &rarr; ''X''要求是一个光滑流形间的[[光滑映射]]，''G''要求为[[李群]]，而相应的''P''上的作用也要光滑。

==例==
最普通的光滑主丛的例子是光滑流形''M''的[[标架丛]]。这里，''M''中一点''x''上的纤维是[[切空间]]''T''<sub>''x''</sub>''M''的所有标架（有序的基）。[[一般线性群]]（general linear group） GL(''n'','''R''')在这些标架上简单推移的作用。这些纤维可以一种自然的方式粘在一起，从而得到一个''M''上的主GL(''n'','''R''')丛。

上面这个例子的变种包括[[黎曼流形]]的[[正交标架丛]]（orthonormal frame bundle）。这里，标架必须对于[[度量张量]][[正交]]。结构群是[[正交群]]O(''n'').

一个正则（正规）[[覆叠空间]]''p'' : ''C'' &rarr; ''X''是一个主丛，其中，结构群<math>\pi_1(X)/p_{*}\pi_1(C)</math>通过单值作用（monodromy action）作用在''C''上。特别的有，''X''的[[万有覆叠]]（universal cover）是以<math>\pi_1(X)</math>为结构群的''X''上的主丛。

令''G''为李群而''H''为闭子群。则''G''是''G''/''H''（''H''的左[[陪集]]空间）上的主''H''丛。这里''H''在''G''上的作用就是右乘。

[[射影空间]]提供了更多主丛的有趣例子。回想一下，''n''-[[球]] ''S''<sup>''n''</sup>是一个[[实射影空间]](real projective space) '''RP'''<sup>''n''</sup>的两层的覆叠空间。 O(1)在''S''<sup>''n''</sup>上的自然作用给它'''RP'''<sup>''n''</sup>上的主O(1)丛的结构。同样，''S''<sup>2''n''+1</sup>是一个[[复射影空间]](complex projective space) '''CP'''<sup>''n''</sup>上的主[[U(1)]]丛，而''S''<sup>4''n''+3</sup>是[[四元数射影空间]](quaternionic projective space) '''HP'''<sup>''n''</sup>上的主[[Sp(1)]]-丛。这样，对每个正的''n''，我们有一系列的主丛：
: <math>\mbox{O}(1) \to S(\mathbb{R}^{n+1}) \to \mathbb{RP}^n</math>
: <math>\mbox{U}(1) \to S(\mathbb{C}^{n+1}) \to \mathbb{CP}^n</math>
:<math>\mbox{Sp}(1) \to S(\mathbb{H}^{n+1}) \to \mathbb{HP}^n</math>
这里''S''(''V'')表示''V''（用欧氏度量）中的单位球。对于所有这些例子，''n'' = 1的情况给出了所谓的[[霍普夫丛]]。

==主丛的表述==
如果&pi; : ''P'' &rarr; ''X''是一个光滑主''G''丛，则''G''在''P''上的作用是自由和[[真映射|真]]（proper）的，使得轨道空间''P''/''G''[[微分同胚]]于基空间''X''。事实上，这些性质完全归纳了光滑主从的特征。也就是说，如果''P''是一个光滑流形，''G''是李群而&mu; : ''P'' &times; ''G'' &rarr; ''P''是一个光滑，自由，和真的右作用，则
*''P''/''G'' 是一个光滑流形，
*自然投影&pi; : ''P'' &rarr; ''P''/''G''是一个光滑[[淹没]](submersion),
*''P''是一个''P''/''G''上的光滑主''G''从。

==参看==
*[[关联丛]]（associated bundle）
*[[向量丛]]
*[[G结构]]
*[[规范场论]]

==参考==
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-4267-2 ''See section 1.7''.
* David Bleecker, ''Gauge Theory and Variational Principles'', (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7 ''See Chapter 1''.

[[Category:纤维丛]]
[[Category:微分几何|Z]]
[[Category:群作用]]