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[[数学]]上，对于 [[群]] ''G''的'''主齐性空间'''，或者叫 '''''G''-旋子'''（[[英文]]：torsor），是一个集合 ''X''， ''G''在其上自由并可递地[[群作用|作用]]。也即，''X''是''G''的[[齐性空间]]，满足每个点的[[群作用#轨道和定点子群|定点子群]]都是平凡群。

在其它[[范畴]]中有类似的定义，其中
*''G''是一[[拓扑群]]， ''X''是一[[拓扑空间]]，而作用是[[连续 (拓扑)|连续]]的，
*''G''是一[[李群]]， ''X''是一[[光滑流形]]而作用是[[光滑函数|光滑]]的，
*''G''是一[[代数群]]， ''X''是一[[代数簇]]而作用是[[正则函数|正则]]的。

==定义==
若 ''G''是[[非交换]]的，则必须根据作用是在左或右分清左或右主齐性空间。本条目使用右作用作为代表。要更显式地给出定义，我们说''X''是一个''G''-主齐性空间，如果存在一个（适当地范畴中的）映射''X'' &times; ''G'' &rarr; ''X''，满足
:<math>x\cdot 1 = x</math>
:<math>x\cdot(gh) = (x\cdot g)\cdot h</math>
对于所有 ''x'' &isin; ''X''和所有''g，h'' &isin; ''G''成立，并且满足如下映射 ''X'' &times; ''G'' &rarr; ''X'' &times; ''X''
:<math>(x,g) \mapsto (x,x\cdot g)</math>
为同构。注意这表示 ''X''和''G''是同构的，但是—很基本的一点是—在''X''中没有特别的'幺元'。也即，''X''看起来和''G''一样，但是我们需要忘记哪一点是幺元。这个概念经常在数学中作为通向内蕴观点的一个途径，常见的说法为‘扔掉原点’。

因为''X''不是一个群，我们不能将元素相加；但是我们可以取它们的‘差’。也就是，存在一个映射''X'' &times; ''X'' &rarr; ''G''将(''x''，''y'')映到一个唯一的元素 ''g'' &isin; ''G''，满足''y'' = ''x''·''g''。

==例子==

每个群 ''G''可以将自己视为一个在左乘或者右乘作用下的左或右''G''-主齐性空间。

另外一个例子是[[仿射空间]]的概念：[[向量空间]]''V''之下的仿射空间 ''A''的想法可以简洁地表述为''A''是''V''作为平移的加法群作用的主齐性空间。

给定[[向量空间]] ''V''，可以将''G''取作[[一般线性群]]GL(''V'')，而''X''取作所有（有序）[[基 (线性代数)|基]]的集合。则''G''通过作用在''V''中的向量上而作用于''X''；并且它[[群作用|可递地]]作用，因为任何基可以通过''G''转换成为另一个。而且，一个固定一个基中每个向量的线性变换会固定所有''V''中的''v''，因此它是一般线性群 GL(''V'')的么元，也就是说''G''的作用是自由的：所以X确实是一个''主''齐性空间。在[[线性代数]]中跟随基的依赖性的一个论证办法就是跟踪''X''中的变量''x''。

==应用==

主齐性空间概念是[[主丛]]的一个特殊情况：它就是基空间为一点的主丛。换句话说，主丛的局部理论就是一族依赖于基空间中的参数的主齐性空间的理论。可以通过取丛的一个[[截面 (纤维丛)|截面]]来给定“原点” - 这样的截面通常是''局部地在基空间上''存在 - 也就是丛''局部平凡''，因此局部地结构就是[[卡积]]的结构。但是截面经常不是全局存在的。例如一个[[微分流形]]M有一个和其[[切丛]]相应的[[标架丛|标架]]主丛。全局截面只有当M是[[可平行化]]时才存在；而那是很强的拓扑限制。

在[[数论]]中，有一个（看似不同的）使用主齐性空间的原因，就是为了在域K上定义[[椭圆曲线]]E（以及更一般的[[交换簇]]）。一旦理解了这点，很多其它例子也是同样的情况，应用于其它的[[代数群]]：[[正交群]]的[[二次型]]，以及[[射影线性群]]的[[Severi-Brauer簇]]就是两个例子。 

在椭圆曲线情况，对[[丢番图方程]]的意义，在于K可能不是[[代数闭]]的。可以存在曲线C，它在K没有点，而它在更大的域上同构于E，E按定义有K上一点作为它的加法律的么元。也就是，在这个情况我们应该区分[[亏格]]为1的C，和有一个K-点的椭圆曲线E（或者说，有一个解在K中的一个丢番图方程）。曲线C其实就是E上的主齐性空间，并在K为一个[[数域]]的情况构成一个有更丰富结构的集合（[[Selmer 群]]理论）。实际上，典型的'''Q'''上的平面三次曲线C没有理由有一个有理点；标准的韦尔斯特拉斯（Weierstrass）模型确总是有一个，也就是无穷远点，但是必须有一点在K上以将C置入''在''K上的形式。

这个理论在[[局部分析]]中有所发展，导出了[[Tate-Shafarevich群]]的定义。通常取主齐性空间理论的方法，首先在[[代数闭域]]上，然后回降到更小的域上，这是[[下降 (范畴论)|下降]]的一个方面。它立刻导致[[伽罗瓦上同调]]，因为主齐性空间代表了[[群上同调]] H<sup>1</sup>的等价类。

==其它用法==

主齐性空间一词也用于没有可递性的情况，特别时在[[层 (数学)|层]]论中。

这个情况下，可以讨论在空间 ''X''上的（右）''G''-主齐性空间 ''E''（''X''时一个[[概形]]／[[流形]]／[[拓扑空间]]，等等。）作为一个有自由（右）''G'' [[群作用|作用]]作用的空间''E''，满足如下映射

:<math>E \times_X G \rightarrow E \times_X E </math> 

（由下式给出）

:<math>(x,g) \mapsto (x,xg)</math> 

为在适当的[[范畴]]中的[[双射]]。当在光滑[[范畴]]中是[[双射]]。在''G''--主齐性空间（''G''  是[[李群]]）则是精确主''G'' [[主丛|丛]]。 主齐性空间在这个意义下和对应于上同调 ''H''<sup>1</sup>(''X,G'')中的对应的基。

== 参见 ==
* [[埃尔朗根纲领]]
* {{link-en|克莱因几何|Klein geometry}}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20130720203432/http://math/。ucr。edu/home/baez/torsors.html Torsors简介（英文）] 作者John Baez

[[Category:群论|Z]]
[[Category:拓扑群|Z]]
[[Category:李群|Z]]
[[Category:代数群|Z]]
[[Category:代数几何|Z]]