查看“乌鸦悖论”的源代码

{{noteTA
|1=zh-hans:贝叶斯; zh-hant:貝氏;
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[[File:Corvus_corax_(FWS).jpg|thumb|130px|right|一只黑乌鸦]]
[[File:Apples.jpg|thumb|130px|right|非黑非乌鸦]]

'''乌鸦悖论'''（{{lang-en|raven paradox}}），也叫做'''亨佩尔的乌鸦'''或'''亨佩尔悖论'''，是1940年代[[德国]][[逻辑学家]][[卡尔·亨普尔]]为了说明[[归纳推理|归纳法]]违反[[直觉]]而提出的一个[[悖论]]。

==问题的综述==

几千年以来，无数人观察了许多事务，比如[[地心引力|地心引力法则]]，人们趋于相信其极可能是真理。这种类型的推理可以总结成“归纳法原理”：

:如果实例 ''X'' 被观察到和论断 ''T'' 相符合，那么论断 ''T'' 正确的[[概率]]增加。

亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子： “所有[[乌鸦]]都是[[黑色]]的”论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦，然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后，我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来合理的。

现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑的” 的论断在[[逻辑]]上和“所有不是黑的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一個[[红]][[苹果]]，它不是黑的，也不是乌鸦，那么这次观察必会增加我们对“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，因此更加确信“所有的乌鸦都是黑的！”这个问题被总结成：

<center>
{|width=80%
|align="left"|
<poem>
余未嘗見有紫牛，
然苟余或遇其一，
則-{云}-烏鴉俱黑者，
豈其益發可信兮？
</poem>
|align="left"|
<poem>
{{lang|en|''I never saw a purple cow''
''But if I were to see one''
''Would the probability ravens are black''
''Have a better chance to be one?''}}
</poem>
|-
|colspan=2 align="right"|（改寫自{{link-en|吉利特·伯吉斯|Gelett Burgess}}的诗）
|}
</center>

==解决提議==

解决它和直觉的冲突，[[哲学家]]们提出了一些方法。美国逻辑学家[[纳尔逊·古德曼]]建议对我们的推理添加一些限制，比如永远不要考虑支持论断“所有P满足Q”且同时也支持“没有P满足Q” 的实例。

其他一些哲学家质疑“[[等价原理]]”。也许红苹果能够增加我们对论断“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，而不增加我们对 “所有乌鸦都是黑色的”信任。这个提议受到质疑，因为你不能对等价的两个命题有不同的信任度，如果你知道他们都是真的或都是假的。

古德曼，以及其后的[[威拉德·冯·奥曼·蒯因]]，使用术语「''[[projectible predicate]]''」来描述这些类似于「乌鸦」和「黑色」的命题，所有这类命题是支持归纳推理法的；而「非[[projectible predicate]]」则为与只相反的后者，如「非黑」和「非乌鸦」这些命题并不支持归纳推理法。蒯因还提出一个需要证实的猜想：如果任何命题是projectible的；在无限物件组成的全集中，一个projectible的命题的[[补集]]永远是非projectible的。  

这样一来，虽然「所有乌鸦都是黑的」和「所有不是黑的东西都不是乌鸦」这两个命题所拥有的信任度必须相等，但只有「黑色的乌鸦」才能同时增加两者的信任度，而「非黑色的非乌鸦」并不增加任何一个命题的信任度。

还有些哲学家认为其实这个命题是完全正确的，出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果确实会增加乌鸦都是黑色的可能性！这就相当于：如果有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看，而你发现所有的物体都不是乌鸦，那你就完全可以断定所有乌鸦都是黑的了。这个「悖论」看上去荒谬只是因为宇宙中「不是黑的」物体远远多于「乌鸦」，所以发现一个「不是黑的」物体只增加了极其微小的对于「乌鸦都是黑的」的信任度，而相对而言，每发现一只黑的乌鸦就是一个有力的证据了。

===贝叶斯定理===
除了以上的陈述以外，「归纳法原理」还有另一种形式，就是[[贝叶斯推理]]。

设 ''X'' 为支持论断 ''T'' 的一个实例，而 ''I'' 表示我们所有的已知信息。

<math>\Pr(\bullet | \circ)</math> 表示论断 ''T'' 成立的几率，已知 ''X'' 和 ''I'' 都是成立的，可以推得，

:<math>\Pr(T|XI) = \frac{\Pr(T|I) \cdot \Pr(X|TI)}{\Pr(X|I)}</math>

这里 <math>Pr(T | I)</math> 表示在只有 ''I'' 是已知成立的情况下，''T'' 成立的几率；<math>Pr(X | TI)</math> 表示在 ''T'' 和 ''I'' 都已知成立的情况下，''X'' 成立的几率；而 <math>Pr(X | I)</math> 表示在只有 ''I'' 是已知成立的情况下，''X'' 成立的几率。

利用这个原理，这个悖论就不会出现了。如果有人[[随机]]选一个「'''苹果'''」，那么他看到一个红苹果的几率和「'''乌鸦'''」的颜色是完全没有关系的。这时分子等于分母，所以分数等于1，所以以上讨论的几率不会改变。所以看见一只红色的苹果不会增加人们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

而如果那人是随机选择一个非黑的「物件」，那个物件正好是一个红的苹果，那么我们會得到一个分子大于分母的，几乎等于一的假分数。所以在这个情况下，看见一只红苹果确实会极微小地增加我们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

其实，随着一个人看到的不是黑色的东西的增加（并发现其中没有乌鸦），「乌鸦都是黑色的」的几率会趋向于1。

== 参见 ==
* [[贝叶斯定理]]
* [[贝叶斯推理]]
* [[白马非马]]

== 参考书目 ==
* Hempel, C. G. ''A Purely Syntactical Definition of Confirmation.'' J. Symb. Logic 8, 122-143, 1943. 
* Hempel, C. G. ''Studies in Logic and Confirmation.'' Mind 54, 1-26, 1945. 
* Hempel, C. G. ''Studies in Logic and Confirmation. II.'' Mind 54, 97-121, 1945. 
* Hempel, C. G. ''Studies in the Logic of Confirmation.''  In Marguerite H. Foster and [http://www.bu.edu/philo/faculty/martin.html Michael L. Martin]，eds. ''Probability, Confirmation, and Simplicity''.  New York: Odyssey Press, 1966.  Pp 145-183
* Falletta, Nicholas. ''The Paradoxicon: a Collection of Contradictory Challenges, Problematical Puzzles, and Impossible Illustrations''. 1983. Pp 126-131. ISBN 0385179324

== 外部链接 ==
* {{en}}[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/paradox_raven/index.asp PRIME Encyclopedia]

[[Category:悖论|Raven paradox]]