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{{微积分学}}
'''乘积法则'''，也称'''積定則'''、'''莱布尼兹法则'''，是[[数学]]中关于两个函数的[[乘法|积]]的[[導數]]的一个计算法则。

若已知两个[[导数|可導函数]]<math>f,g</math>及其导数<math>f',g'</math>，则它们的积<math>fg</math>的导数为：

:<math>(fg)'=f'g+fg' \,</math>

這個法則可衍生出[[积分]]的[[分部積分法]]。

==莱布尼兹的发现==

这个法则是[[莱布尼兹]]发现的，以下是他的证明：设''u''(''x'')和''v''(''x'')为''x''的两个可导函数。那么，''uv''的微分是：

: <math>
\begin{align}
d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.
\end{align}
</math>

由于''du''·''dv''可以忽略不计，因此有：

:<math>d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,</math>

两边除以''dx''，便得：

:<math>\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot  \frac{dv}{dx} </math>

或

:<math>(u\cdot v)' = v\cdot  u' + u\cdot  v'. \,</math>

==例子==

*假设我们要求出''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[sine|sin]](''x'')的导数。利用乘积法则，可得''f''<nowiki>'</nowiki>(''x'') = 2''x'' sin(''x'') + ''x''<sup>2</sup>cos(''x'')（这是因为''x''<sup>2</sup>的导数是2''x''，sin(''x'')的导数是cos(''x'')）。
*乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果''c''是[[实数]]，''f''(''x'')是可微函数，那么''cf''(''x'')也是可微的，其导数为(''c'' &times; ''f'')<nowiki>'</nowiki>(''x'') = ''c'' &times; ''f''<nowiki> '</nowiki>(''x'')。
*乘积法则可以用来推出[[分部积分法]]和[[除法定则]]。

==证明一：利用面积==

假设

:<math> h(x) = f(x)g(x),\,</math>

且''f''和''g''在''x''点可导。那么：

:<math>h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)</math>

现在，以下的差

:<math> f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) </math>

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。
[[File:Regladelproducte.png|center|750px]]
这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

:<math> f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) </math>

因此，(1)的表达式等于：

:<math>\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)</math>

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

:<math> \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)  </math>

现在：

:<math>\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,</math>

因为当''w'' &rarr; ''x''时，''f''(''x'')不变；

:<math> \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) </math>

因为''g''在''x''点可导；

:<math> \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) </math>

因为''f''在''x''点可导；以及

:<math> \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\, </math>

因为''g''在''x''点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

:<math> f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,</math>

==证明二：使用对数==
设''f'' = ''uv''，并假设''u''和''v''是正数。那么：

:<math>\ln f = \ln u + \ln v.\,</math>

两边求导，得：

:<math>{1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v</math>

把等式的左边乘以''f''，右边乘以''uv''，即得：

:<math>{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.</math>

==证明三：使用导数的定义==

设 <math> h(x) = f(x)g(x),\,</math>

且''f''和''g''在''x''点可导。那么：

<math>h'(x) = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{h(x+\Delta{x})-h(x)}{\Delta{x}} = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}} </math>
::<math> = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x+\Delta{x})+f(x)g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}} </math>
::<math> = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{[f(x+\Delta{x})-f(x)] \cdot g(x+\Delta{x}) + f(x) \cdot [g(x+\Delta{x})-g(x)]}{\Delta{x}} </math>
::<math> = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}} \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} g(x+\Delta{x})
+ \lim_{\Delta{x}\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{g(x+\Delta{x})-g(x)}{\Delta{x}} </math>
::<math>= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>.

==推廣==
* 若有<math>n</math>个函数<math>f_1,f_2,...,f_n</math>，则：

: <math>\left( {\prod_{k = 1}^n {f_n } } \right)^\prime = \sum_{k = 1}^n {\left( {f'_k  \cdot \prod_{j = 1 \atop j \ne k } ^n {f_j } } \right)} </math>

* （[[萊布尼茲]]法則）若<math>f,g</math>均為可導<math>n</math>次的函數，則<math>fg</math>的<math>n</math>次導數為：

: <math>(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}</math>

其中<math>{n \choose k}</math>是[[二項式係數]]。

==应用==

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

:<math> {d \over dx} x^n = nx^{n-1} </math>

其中''n''是一个正整数（该公式即使当''n''不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用[[数学归纳法]]来证明这个公式。如果''n'' = 1，<math>\frac{d}{dx}x^1=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=1=1x^{1-1}</math>

假设公式对于某个特定的''k''成立，那么对于''k''&nbsp;+&nbsp;1，我们有：

:<math>\begin{align}
{d \over dx}x^{k+1} &{}= {d \over dx}\left( x^k\cdot x\right) \\  \\
&{}= x{d \over dx} x^k + x^k{d \over dx}x \\  \\
&{}= x\left(kx^{k-1}\right) + x^k\cdot 1 \\  \\
&{}= (k+1)x^k.
\end{align} </math>

因此公式对于''k''&nbsp;+&nbsp;1也成立。

==参见==
* [[除法定则]]
* [[倒数定则]]
* [[鏈式法則]]
* [[分部积分法]]


[[Category:乘法]]
[[Category:求导法则]]