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{{noteTA|G1=数学}} [[File:Polynomialdeg 2.svg|frame|right|<center>解析式:<math>f(x) = x^2 - x - 2\,\!</math><center>]] 在[[数学]]中,'''二次函数'''([[英語]]:quadratic function)表示形为 <math>f(x)=ax^2+bx+c \,\!</math>(<math>a \ne 0 \,\!</math>,且<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>是常数)的[[多项式函数]],其中,<math>x</math>为自变量{{efn|注:自变量<math>x</math>的取值范围为任何实数}},<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的[[函数图像|图像]]是一条主轴平行于<math>y</math>轴的[[抛物线]]。<ref name="数学">{{cite book |author= |title=数学 |year=2014 |publisher=北京师范大学出版社 |location=北京 |isbn=9787303136933 |url=http://item.jd.com/1467778763.html |pages=}}</ref> 二次函数[[表达式]]<math>ax^2+bx+c</math>的定义是一个二次[[多项式]],因为<math>x</math>的最高[[次数]]是2。 如果令二次函数的值等于零,则可得一个[[二次方程]]。该方程的解称为方程的[[根 (数学)|根]]或函数的零点。 == 历史 == 大约在公元前480年,[[古巴比伦]]人和中国人已经使用配方法求得了[[二次方程]]的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,[[欧几里得]]提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。 7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人,它同时容许有正负数的根。{{efn|参见[[婆罗摩笈多|婆罗摩笈多 代数]]章节}} 11世纪[[阿拉伯]]的花拉子米 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作''Liber embadorum'',首次将完整的[[一元二次方程]]解法传入[[欧洲]]。{{efn|参见[[花拉子米|花拉子米 代数]]这章节}} == 根 == {{Further|二次方程|韦达定理}} 二次方程 <math>ax^2+bx+c=0\,\!</math> 的两个[[根]]为:<math display="block">x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math>解方程后,我们会得到两个根:<math>x_1</math>和<math>x_2</math>。则[[点]]<math>(x_1,0)</math>和<math>(x_2,0)</math>就是二次函数与<math>x</math>轴的[[交點|交点]]。根的{{tsl|en|types|类型}}如下: * 设<math>\Delta = b^2-4ac \,</math>為一元二次方程式的[[判別式]],又記作D。 * 當<math>\Delta > 0\,\!</math>,则方程有两个[[不相等]]的根,也即与<math>x</math>轴有两个不{{tsl|en|superimpose|重疊}}的交点,因为<math>\sqrt{\Delta}</math>是正数。 * 當<math>\Delta = 0\,\!</math>,则方程有两个[[相等]]的根,也即与<math>x</math>轴有一个[[切点]],因为<math>\sqrt{\Delta}</math>是零。 * 當<math>\Delta < 0\,\!</math>,则方程没有[[實數]]根,也即与 <math>x</math> 轴没有交点,因为<math>\sqrt{\Delta}</math>是[[共轭复数|共軛複數]]。 设<math> r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>和<math> r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>,我们可以把<math> a x^2 + b x + c \,\!</math>[[因式分解]]为<math> a(x - r_1)(x - r_2)\,\!</math>。 == 二次函数的形式 == 二次函数可以表示成以下三种形式: * <math>f(x) = a x^2 + b x + c \,\!</math>称为'''一般形式'''或'''多项式形式'''。 * <math>f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!</math>称为'''因子形式'''或'''交点式''',其中<math>r_1</math>和<math>r_2</math>是二次方程的两个根,<math>(r_1,0)</math>,<math>(r_2,0)</math>是[[抛物线]]与<math>x</math>轴的两个交点。 * <math>f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!</math>称为'''标准形式'''或'''顶点形式''',<math>(h,k)</math>即為此二次函數的頂點。 把一般形式转换成因子形式时,我们需要用求根公式来算出两个根<math>r_1</math>和<math>r_2</math>,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式转换成标准形式时,我们需要用[[配方法]]。把因子形式转换成一般形式时,我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。 <math>h</math>代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的[[平均数|平均數]]即為<math>h</math> *<math>k</math>展開後比較後可得 <math>k=-a\left(\frac{|r_1-r_2|}{2}\right)^2</math> 不通過<math>r_1</math>和<math>r_2</math>求<math>k</math>及<math>h</math>公式: *<math>h = - \frac{b}{2a}</math> *<math>k = -\frac{b^2-4ac}{4a}</math> (也作<math>k = \frac{4ac-b^2}{4a}</math>) 而在三種形式中皆出現的<math>a</math>為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。 == 图像 == [[File:Function ax^2.jpg|thumb|<math>f(x) = ax^2 ,\!</math><math>a=\{0.1,0.3,1,3\}\!</math>]] [[File:Function x^2+(1 to 4)x.jpg|thumb|<math>f(x) = x^2 + bx,\!</math> <math>b=\{1,2,3,4\}\!</math>]] [[File:Function x^2-(1 to 4)x.jpg|thumb|<math>f(x) = x^2 + bx,\!</math> <math>b=\{-1,-2,-3,-4\}\!</math>]] *系数<math>a</math>控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度,<math>a</math>越大,函数就增长得越快。 *系数<math>b</math>和<math>a</math>控制了抛物线的对称轴(以及顶点的<math>x</math>坐标)。 *系数<math>b</math>控制了抛物线穿过<math>y</math>轴时的倾斜度([[导数]])。 *系数<math>c</math>控制了抛物线的高度,它是抛物线与<math>y</math>轴的交点。 {|class="wikitable" ! 函数 ! colspan=3 | 图像 ! 函数变化 !对称轴 !开口方向 ! 最大(小)值 |- |<math>y=ax^2</math> || <math>a>0</math> ||colspan=2 | [[File:Function ax^2.jpg|70px]] || 当<math>x>0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math>的增大而增大;<br>当<math>x<0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而增大 ||<math>y</math>轴<br>或<math>x=0</math>|| 向上||<math>0</math> |- |<math>y=ax^2</math> || <math>a<0</math> || colspan=2 | || 当<math>x>0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math> 的增大而减小;<br>当<math>x<0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而减小 ||<math>y</math>轴<br>或<math>x=0</math>|| 向下||<math>0</math> |- |<math>y=ax^2+c</math> || <math>a>0</math> || colspan=2 | || 当<math>x>0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math> 的增大而增大;<br>当<math>x<0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而增大 ||<math>y</math>轴<br>或<math>x=0</math>|| 向上 ||<math>c</math> |- |<math>y=ax^2+c</math> || <math>a<0</math> || colspan=2 | ||当<math>x>0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math>的增大而减小;<br>当<math>x<0</math>时,<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而减小 ||<math>y</math> 轴<br>或 <math>x=0</math>|| 向下||<math>c</math> |- |<math>y=ax^2+bx+c</math> || <math>a>0</math> ||colspan=2 | ||当<math>x>-\frac{b}{2a}</math>时,<math>y</math> 随<math>x</math>的增大而增大;<br>当<math>x<-\frac{b}{2a}</math>时,<math>y</math>随<math>x</math>的减小而增大 ||<math>x=-\frac{b}{2a}</math> || 向上 ||<math>-\frac{\Delta}{4 a}</math><math>\left ( -\frac{b^2-4ac}{4 a} \right )</math> |- |<math>y=ax^2+bx+c</math> || <math>a<0</math> ||colspan=2 | ||当<math>x>-\frac{b}{2a}</math>时,<math>y</math> 随<math>x</math>的增大而减小;<br>当<math>x<-\frac{b}{2a}</math>时,<math>y</math>随<math>x</math>的减小而减小 ||<math>x=-\frac{b}{2a}</math> || 向下 ||<math>-\frac{\Delta}{4 a}</math><math>\left ( -\frac{b^2-4ac}{4 a} \right )</math> |} === ''x'' 截距 === 当函数与<math>x</math>轴有两个交点时,设这两个交点分别为 <math>A(x_1,0),\, B(x_2,0)</math>,由根与系数的关系得出{{efn|参见[[韦达定理]]}}:<math>x_1+x_2=-\frac{b}{a} </math>和<math>x_1x_2=\frac{c}{a}</math> :<math> \begin{align}\therefore AB&=|x_2-x_1| \\ &=\left|\sqrt{(x_2-x_1)^2}\right| \\ &=\left|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\right| \\ &=\left|\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{4c}{a}}\right| \\ &=\left|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}\right| \\ &=\left|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}\right| \\ &=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} \ \ \ \ \text{或} \ \ \ \ \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\end{align}</math><ref>[http://wenku.baidu.com/link?url=EtRCms1xUGjEK-N2V34XxmYVssbglDtB2EmQRl62tZaes_-tvLedWlVNTCTXz6KLpa5bFUzZ7i1aLxo9Fb6Xh8S7Wax3aZH2PtztkP_tLmi 二次函数公式汇总(文档)]百度文库</ref> === 顶点 === 抛物线的顶点是它转弯的地方,也称为[[驻点]]。如果二次函数是标准形式,则顶点为<math>(h, k)\,\!</math>。用配方法,可以把一般形式<math>f(x) = a x^2 + b x + c \,\!</math>化为:<math display="block"> f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a}</math><ref name="初中代数41讲">{{cite book |author=贾士代 |title=初中代数41讲 |year= |publisher=首都师范大学出版社 |location=北京 |isbn=7-81039-028-7 |url= |pages=49-55}}</ref><ref>[http://www.webgraphing.com/quadraticequation_completingthesquare.jsp WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150729171230/http://www.webgraphing.com/quadraticequation_completingthesquare.jsp |date=2015-07-29 }}</ref> 因此在一般形式中,抛物线的顶点是:<math display="block"> \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)</math>如果二次函数是因子形式<math>f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!</math>,则两个根的[[平均数]]<math display="block">\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!</math>就是顶点的<math>x</math>坐标,因此顶点位于<math display="block"> \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right)\!</math><math>a < 0 \,\!</math>时,顶点也是最大值;<math>a > 0 \,\!</math>时,则是最小值。 经过顶点的竖直线<math display="block"> x=h=-\frac{b}{2a} </math>又称为抛物线的对称轴。 * 最大值和最小值 :函数的最大值和最小值总是在驻点(又称临界点,稳定点)取得。以下的方法是用[[导数法]]来推导相同的事实,这种方法的好处是适用于更一般的函数。 :设有函数<math>f(x) = ax^2 + bx + c \,\!</math>,寻找它的[[极值|極值]]时,我们必须先求出它的[[导数]]:<math display="block">f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\! f'(x)=2ax+b \,\!</math>然后,求出<math>f'(x)\,\!</math>的根:<math display="block">2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}</math>因此,<math>-\frac{b} {2a}</math>是<math>f(x)\,\!</math>的<math>x\,\!</math>值。现在,为了求出<math>y\,\!</math>,我们把<math>x = -\frac{b} {2a}</math>代入 <math>f(x)\,\!</math>:<math display="block">y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}</math>所以,最大值或最小值的坐标为:<math display="block"> \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right)</math> == 二次函数的平方根 == 二次函数的平方根的图像要么是[[椭圆]],要么是[[双曲线]]。如果<math>a>0\,\!</math>,则方程<math> y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} </math>描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线<math> y_p = a x^2 + b x + c \,\!</math>的最小值决定。如果最小值是负数,则双曲线的轴是水平的。如果是正数,则双曲线的轴是竖直的。如果<math>a<0\,\!</math>,则方程<math> y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} </math>的图像要么是一个椭圆,要么什么也没有。如果对应的抛物线<math> y_p = a x^2 + b x + c \,\!</math>的最大值是正数,则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数,则描述了一个[[空集]]。 == 二元二次函数 == 二元二次函数是以下形式的二次多项式:<math display="block"> f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!</math>这个函数描述了一个[[二次曲面]]。把<math>f(x,y)\,\!</math>设为零,则描述了曲面与平面<math>z=0\,\!</math>的交线,它是一条[[圆锥曲线]]。 === 最小值/最大值 === 如果<math> 4AB-E^2 <0 \,</math>,则函数没有最大值或最小值,其图像是双曲[[抛物面]]。 如果 <math> 4AB-E^2 >0 \,</math>,则当<math> A>0</math>时函数具有最小值,当<math> A<0</math>具有最大值。其图像是椭圆抛物面。 二元二次函数的最大值或最小值在点 <math>(x_m, y_m) \,</math> 取得,其中:<math display="block">x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}</math><math display="block">y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}</math>如果<math> 4AB- E^2 =0 \,</math>且<math> DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,</math>,则函数没有最大值或最小值,其图像是抛物柱面。 如果<math> 4AB- E^2 =0 \,</math>且<math> DE-2CB=2AD-CE =0 \,</math>,则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当<math> A>0</math>时取得最大值,<math> A<0</math>时取得最小值。其图像也是抛物柱面。 == 註釋 == {{notelist|iger=}} == 参考资料 == {{reflist}} === 参考书目 === *《代数1》, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8 *《代数2》,Saxon, ISBN 0-939798-62-X ==參見== *[[抛物线]] ==外部連結== * {{MathWorld|title=Quadratic|urlname=Quadratic}} {{多項式}} [[Category:多项式|E]] [[Category:函数|E]] [[Category:数学|E]]
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