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{{roughtranslation|time=2013-02-17T02:36:13+00:00}}
在[[数学]]中，'''二次型'''是一些变量上的二次[[齐次多项式]]。例如
:<math>4x^2 + 2xy - 3y^2</math>
是关于变量x和y的二次型。

二次型在许多数学分支，包括[[数论]]、[[线性代数]]、[[群论]]（[[正交群]]）、[[微分几何]]([[黎曼测度]])、[[微分拓扑]](intersection forms of four-manifolds)和[[李代数]]([[基灵型]])中，占有核心地位。
== 介绍 ==
二次型是''n''个变量上的二次齐次多项式。下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式：
: <math>q(x) = ax^2</math>
: <math>q(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy</math>
: <math>q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz</math>
其中''a'', ..., ''f''是系数。{{NoteTag|对于在[[整数]]环上定义的二次型的系数的要求，有两大传统。其中一个传统要求任何在[[整数]]环上定义的二次型中，任何项的系数都是整数（可以是任何整数）。另外，一个自[[高斯]]以来的另一个传统要求任何在[[整数]]环上定义的二次型中，除了任何项的系数都必须是整数外，还要求任何涉及两个不同变量相乘的项的系数都必须是偶数。换句话说，按照后一传统，二元二次型中''xy''的系数''b''被替换为2''b''（其中新系数2''b''中的''b''是任何整数），而三元二次型中''xy''的系数''d''，''xz''的系数''e''以及''yz''的系数''f''分别被替换为2''d''、2''e''以及2''f''（其中新系数2''d''、2''e''以及2''f''中的''d''、''e''及''f''是任何整数）。换句话说，按照后一传统，对于任何在[[整数]]环上定义的二次型，与该二次型相对应的对称线性型的矩阵中的所有元素都必须是整数。两种传统都能在文献中找到。}}
注意一般的[[二次函数]]和[[二次方程]]不是二次形式的例子，因为它们不总是[[齐次多项式|齐次]]的。

任何非零的n维二次形式定义在[[投影空间]]中一个 (n-2)维的[[射影几何|投影空间]]。在这种方式下可把3维二次形式可视化为[[圆锥曲线]]。

术语二次型也经常用来提及'''二次空间'''，它是有序对（''V'',''q''），这里的''V''是在[[域 (数学)|域]]''k''上的[[向量空间]]，而''q'':''V'' → ''k''是在''V''上的[[二次形式]]。例如，在三维[[欧几里得空间]]中两个点之间的[[距离]]可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。
: <math> q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^2=\|(x,y,z)\|^2=x^2+y^2+z^2. </math>

==定义==

设''V''是在[[交换环]]''R''上的[[模]]；''R''经常是[[域 (数学)|域]]比如[[实数]]，在这种情况下''V''是[[向量空间]]。 

映射''Q'' : ''V'' → ''R''被称为在''V''上的'''二次形式'''，如果
*''Q''(''av'') = ''a''<sup>2</sup> ''Q''(''v'')对于所有<math>a \in R</math>和<math>v \in V</math>，并且
*''2'''B''(''u'',''v'') = ''Q''(''u''+''v'') − ''Q''(''u'') − ''Q''(''v'')是在''V''上的[[双线性形式]]。

这里的''B''被称为'''相伴双线性形式'''；它是[[对称双线性形式]]。尽管这是非常一般性的定义，经常假定这个环''R''是一个域，它的[[特征 (代数)|特征]]不是2。

''V''的两个元素''u''和''v''被称为'''[[正交]]'''的，如果''B''(''u'', ''v'')=0。

双线性形式''B''的'''核'''由正交于''V''的所有元素组成，而二次形式''Q''的'''核'''由''B''的核中的有''Q''(''u'')=0的所有元素''u''组成。
如果2是可逆的，则''Q''和它的相伴双线性形式''B''有同样的核。

双线性形式''B''被称为'''非奇异'''的，如果它的核是0；二次形式''Q''被称为'''非奇异'''的，如果它的核是0。

非奇异二次形式''Q''的[[正交群]]是保持二次形式''Q''的''V''的自同构的群。 

二次形式''Q''被称为[[迷向二次型|迷向]]的，如果有''V''中的非零的''v''使得<math>Q(v) = 0 </math>。否则它称为非迷向的。二次空间的一个向量或子空间也可以被称为迷向的。如果<math>Q(V) = 0 </math>则<math>Q</math>被称为[[完全奇异]]的。

== 性质 ==

二次形式的一些其他性质：
*''Q''服从[[平行四边形定律]]：
::<math>Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)</math>
*向量''u''和''v''是关于''B''正交的，当且仅当
::<math>Q(u+v) = Q(u) + Q(v)</math>

==对称双线性形式==
{{main|对称双线性形式}}
在低层的[[域 (数学)|域]]的[[特征 (代数)|特征]]不是2的时候，二次形式等价于[[对称双线性形式]]。

二次形式总是生成对称双线性形式（通过极化恒等式），而反过来要求[[除以二|除以2]]。

注意对于任何向量''u'' ∈ ''V''
:2''Q''(''u'') = ''B''(''u'',''u'')

所以如果2在''R''中是可逆的（在''R''是一个域的时候这同于有不是2的特征），则我们可以从对称双线性形式''B''恢复二次形式，通过  
:''Q''(''u'') = ''B''(''u'',''u'')/2.
当2是可逆的时候，这给出在''V''上的二次形式和''V''上的双线性形式之间的一一映射。如果''B''是任何对称双线性形式，则''B''(''u'',''u'')总是二次形式。所以在2是可逆的时候，这可以用作二次形式的定义。但是如果2不是可逆的，对称双线性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能写为形式''B''（''u'',''u''）。 

我们在二维情况下描述这种等价。任何2维二次形式可以被写为

:<math>F(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy</math>.

我们对在这个向量空间的任何向量写'''x''' =（''x'',''y''）。二次形式''F''可以表达为[[矩阵]]，如果我们设''M''是2×2矩阵：

: <math> M=
  \begin{bmatrix}
    a & \frac{c}{2}  \\
    \frac{c}{2} & b
  \end{bmatrix}.
</math>

接着[[矩阵乘法]]给我们下列等式：

: ''F''('''x''')='''x'''<sup>T</sup>·''M''·'''x'''

这里的有上标的'''x'''<sup>T</sup>指示[[转置矩阵]]。主要我们已经用了特征不是2，因为我们除以2来定义''M''。所以我们看到了在2维二次形式''F''和对应于[[对称双线性形式]]的2×2 [[对称矩阵]]''M''之间的对应。

这个观察迅速推广到''n''个变量和''n''×''n''矩阵的形式中。例如，在[[实数]]值二次形式中，实数的特征是0，所以实数二次形式和实数[[对称双线性形式]]是来自不同观点的同样的东西。

如果''V''是''n''维的，我们写双线性形式''B''为相对于''V''的某个[[基 (线性代数)|基]]{''e''<sub>''i''</sub>}的[[对称矩阵]]'''B'''。'''B'''的分量给出自<math>B_{ij} = B(e_i,e_j)</math>。如果2是可逆的，二次形式''Q''给出自
:<math>2 Q(u) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j</math>
这里''u''<sup>''i''</sup>是在这个基下的''u''的分量。

== 实二次形式 ==

假定<math>Q</math>是定义在[[实数]]向量空间上的二次形式。
* 它被称为是[[确定双线性形式|正定]]的（或者负定的），如果<math>Q(v)>0</math> (或者<math>Q(v)<0</math>)对于所有向量<math>v\ne 0</math>。
* 如果我们放松严格不等于为≥或≤，则形式<math>Q</math>被称为半定的。
* 如果<math>Q(v)<0</math>对于某个<math>v</math>而且<math>Q(v)>0</math>对于另一个<math>v</math>，则<math>Q</math>被称为不定的。

设<math>A</math>是如上那样关联于<math>Q</math>的实数对称矩阵，所以对于任何列向量<math>v</math>， 

: <math>Q(v)=v^T Av. </math>

成立。接着，<math>Q</math>是正（半）定的，负（半）定的，不定的，当且仅当矩阵<math>A</math>有同样的性质（参见[[正定矩阵]]）。最终，这些性质可以用<math>A</math>的[[特征值]]来刻画。

== 注释 ==
{{NoteFoot}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
{{refbegin}}
* {{cite book
  | last = O'Meara |first = T.
  | title = Introduction to Quadratic Forms
  | publisher = Springer-Verlag
  | location = Berlin; Heidelberg
  | year = 2000
  | ISBN = 978-3-540-66564-9
}}
{{refend}}

== 参见 ==
* [[二次形式 (统计)]]

{{-}}
{{Authority control}}

[[Category:二次型| ]]
[[Category:多重线性代数|E]]