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数学中，'''二阶导数的对称性'''（也称为'''混合导数的相等'''）指取一个''n''元函数

:<math>f(x_{1},x_{2}, \dots ,x_{n})</math>

的[[偏导数]]可以交换。如果关于<math>x_{i}</math>的偏导数用一个下标<math>i</math>表示，则对称性断言二阶偏导数<math>f_{ij}</math>满足等式

:<math>f_{ij}=f_{ji}</math>

从而它们组成一个''n''×''n'' [[对称矩阵]]。有时这也称为'''杨定理'''（{{lang|en|Young's theorem}}）。

==黑塞矩阵是典型对称的==

''f''的二阶偏导数称为''f''的'''[[黑塞矩阵]]'''。[[主对角线]]之外的元素是'''混合导数'''；即关于不同两个变量相继之导数。

在最正常的情形黑塞矩阵实际上是[[对称矩阵]]；但从[[数学分析]]的观点来看这不是一个安全的论述，在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于''f''的一个充分条件使其成立。

==对称性的正式表述==
用符号表示，对称性说，例如

:<math>\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)</math>。

这个等式也可写成

:<math>\partial_{xy} f = \partial_{yx} f</math>。

或者，此对称性可利用[[微分算子]]''D''<sub>''i''</sub>写成一个代数论述，''D''<sub>''i''</sub>是关于''x''<sub>''i''</sub>取偏导数：

:''D''<sub>''i''</sub> . ''D''<sub>''j''</sub> = ''D''<sub>''j''</sub> . ''D''<sub>''i''</sub>.

由这个关系得知由''D''<sub>''i''</sub>生成的[[常系数]]微分算子环是[[交换环|交换]]的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对[[单项式]]对称性成立，从而我们可取''x''<sub>''i''</sub>的[[多项式]]为定义域。事实上[[光滑函数]]也行。

==克莱罗定理==

在[[数学分析]]中，'''克莱罗定理'''（{{lang|en|Clairaut's theorem}}）或'''施瓦兹定理'''（{{lang|en|Schwarz's theorem}}）<ref>James, R.C.（1966）''Advanced Calculus''. Belmont, CA, Wadsworth.</ref>，以[[亚历克西·克莱罗]]与[[赫尔曼·施瓦兹]]命名，断言如果

:<math>f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> 

在<math> \mathbb{R}^n </math>中任何一点  <math>(a_1, \dots, a_n),</math>有[[连续函数|连续]]二阶[[偏导数]]，则对<math>\forall i, j \in \mathbb{N} \backslash \{0\}: i,j \leq n,</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n)</math>。

换句话是，这个函数在那一点的偏导数[[交换算子|交换]]。确立这个定理的一个简单方法（当''n'' = 2, ''i'' = 1，且''j'' = 2，很容易推到一般）是运用[[格林定理]]求''f''的[[梯度]]。

=== 克莱罗常数 ===
这个定理的一个副产品是'''克莱罗常数'''（{{lang|en|Clairaut's constant}}，亦称卡罗拉公式或克莱罗参数），涉及[[球面]][[大圆]]上一点的[[维度]]与[[方位角]]。一个特定大圆等于它在[[赤道]]处的方位角，或'''弧道路'''，<math>\widehat{\Alpha}\,\!</math>：
:::<math>\sin(\widehat{\Alpha})=\Big|\cos(\phi_q)\sin(\widehat{\alpha}_q)\Big|.\,\!</math>

==分布理论描述==

也可利用[[分布 (数学)|分布]]理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数（假设[[可积函数|可积]]）可以定义为一个分布。第二[[分部积分]]将对称性问题丢给测试函数，这是光滑的当然满足对称性。从而，在分布的意义下，对称性总满足。（另一个方法，若定义了函数的[[傅立叶变换]]，注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子）。

==对称性的要求==
当函数不满足克莱洛定理的前提的时候，例如其导数不连续，则不存在对称性。

[[File:Graph001.png|thumb|这个函数<math>f(x,y)</math>在它的原点没有对称的二阶导数]]

展示非對稱的一個例子如下：

:<math>f(x,y) = \begin{cases} 
                     \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} & \mbox{ for }(x, y)\ne(0, 0)\\
                      0                            & \mbox{ for }(x, y) =(0, 0).
                \end{cases} 
</math>
尽管这个函数处处连续，但它的代数导函数在原点没有定义。沿着''x''轴的其他地方''y''的导数为<math>\partial_y f|_{(x,0)}=x</math>，所以
:<math>\partial_x\partial_y f|_{(0,0)} =
\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac { \partial_y f|_{(\epsilon,0)}-\partial_y f|_{(0,0)} } \epsilon = 1</math>。
反之亦然，沿着''y''轴的其他地方''x''的导数为<math>\partial_x f|_{(0,y)}=-y</math>，所以<math>\partial_y\partial_x f|_{(0,0)} = -1</math>。那就是说，在(0,0)处<math>\partial_{xy}f\ne\partial_{yx}f</math>，尽管''f''的混合導數存在，且在<math>(0,0)</math>之外處處連續。注意到它與克莱罗定理并不矛盾，因為導數在(0,0)不連續。一般地，[[極限運算的交換]]未必交換，兩個變量情形下，在(0, 0)附近考慮
:<math>f(h,k) - f(h,0) - f(0,k) + f(0,0)</math>
的兩個極限過程，先令''h'' → 0以及先令''k'' → 0。這兩個過程未必交換（參見[[極限運算的交換]]）：看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的[[病態 (數學)|病態]]例子。若導數作為[[施瓦茲分布]]是對稱的，這類例子屬于[[實分析]]中的精細理論，逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候，二阶导数值可以在任意点集中的改变，只要Lebesgue测度为<math>0</math>。由于在这个例子中，黑塞矩阵在<math>(0,0)</math>外所有点对称，Hessian矩阵看作施瓦茨分布是对称的事实，不存在矛盾。

== 李理论 ==

更高级的一个讨论是这样的：考虑一阶微分算子''D''<sub>''i''</sub>为[[欧几里得空间]]中的[[无穷小算子]]。即''D''<sub>''i''</sub>在某种意义下生成平行于''x''<sub>''i''</sub>-轴[[平移]]的[[单参数群]]。显然这些群互相交换，从而我们希望[[李群#与李群相伴的李代数|无穷小生成元]]也交换；[[李括号]]

:[''D''<sub>''i''</sub>, ''D''<sub>''j''</sub>] = 0

便是其反映的方式。或者说，一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。

==参考文献==
<references />

[[Category:多变量微积分]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:广义函数]]
[[Category:对称]]