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[[File:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px|二項式係數可排列成[[杨辉三角形|帕斯卡三角形]]。]]
在[[數學]]上，'''二項式係數'''是[[二项式定理|二項式定理]]中各項的[[係數]]。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 ''n'' 和 ''k'' 為參數決定，寫作 <math>\tbinom nk </math>，定義為 <math>(1+x)^n</math>的多項式展開式中，<math>x^k</math>項的[[係數]]，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 <math>\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots ,\binom{n}{n}</math>寫成一行，再依照 <math>n=0,1,2,\dots</math>順序由上往下排列，則構成[[帕斯卡三角形]]。

二項式係數常見於各數學領域中，尤其是[[組合數學]]。事實上，<math>\tbinom nk</math>可以被理解為從<math>n</math>個相異元素中取出<math>k</math>個元素的方法數，所以 <math>\tbinom nk</math>大多讀作「<math>n</math>取<math>k</math>」。二項式係數 <math>\tbinom nk</math>的定義可以推廣至<math>n</math>是[[複數]]的情況，而且仍然被稱為二項式係數。

== 歷史及記號 ==
雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見[[帕斯卡三角形]]），但表達式 <math>\tbinom nk</math>卻是到1826年才由[[安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森]]首次始用<ref group="注">{{harvtxt|Higham|1998}}</ref>。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 {{tsl|en|Halayudha|Halayudha}}寫的[[印度教]]典籍《[[宾伽罗|Pingala]]的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家[[婆什迦羅第二|Bhaskaracharya]]於其著作《[[Lilavati]]》<ref group="注">[[Lilavati]] 第6節，第4章（見{{harvtxt|Knuth|1997}}）。</ref> 中給出一個簡單的描述。

二項式係數亦有不同的[[排列組合符號|符號]]表達方式，包括：<math>C(n,k)</math>、<math>_n C_k</math>、<math>^n C_k</math>、<math>C^{k}_{n}</math>、<math>C^{n}_{k}</math><ref group="注">{{harvtxt|Shilov|1977}}</ref>，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在[[置換]]數 <math>P_k^n</math>，例如寫作 P(''n'', ''k'')。

== 定義及概念 ==

對於非負[[整数]]<math>n</math>和<math>k</math>，二項式係數<math>\tbinom nk</math>定義為<math>(1+x)^n</math>的多項式展開式中，<math>x^k</math>項的[[係數]]，即

:<math>(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^k= \binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\cdots+\binom{n}{n}x^n</math>

事實上，若<math>x</math>、<math>y</math>為[[交换环|交換環]]上的元素，則

:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k</math>

此數的另一出處在組合數學，表達了從''<math>n</math>''物中，不計較次序取''<math>k</math>''物有多少方式，亦即從一''<math>n</math>''元素集合中所能組成''<math>k</math>''元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪<math>(1+X)^n</math>的''<math>n</math>''個因數逐一標記為<math>i</math>（從1至''<math>n</math>''），則任一''<math>k</math>''元素子集則建構成展式中的一個<math>X^k</math>項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數''<math>n</math>''和''<math>k</math>''而言，<math>\tbinom nk</math>亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由''<math>n</math>''個[[位元]]（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為''<math>k</math>''的數目為<math>\tbinom nk</math>，又如算式<math>k=a_1+a_2+\cdots+a_n</math>，其中每一<math>a_i</math>均為非負整數，則有<math>\tbinom{n+k-1}k</math>種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算''<math>k</math>''個元素的組合的數量。

== 計算二項式係數 ==

除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算<math>\tbinom nk</math>的值。

=== 遞歸公式 ===

以下[[遞歸]]公式可計算二項式係數：

:<math>  \binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k \quad \forall n,k\in\N</math>

其中特別指定：

:<math>\binom n0 = 1 \quad \forall n\in\N\cup\{0\},</math>
:<math>\binom 0k = 0 \quad \forall k\in\N.</math>

此公式可由計算<math>(1+X)^{n-1}(1+X)</math>中的''<math>X^k</math>''項，或點算集合<math>\left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}</math>的''<math>k</math>''個元素組合中包含''<math>n</math>''與不包含''<math>n</math>''的數量得出。

顯然，如果<math>k>n</math>，則<math>\tbinom nk=0</math>。而且對所有''<math>n</math>''，<math>\tbinom nn=1</math>，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構[[帕斯卡三角形]]。

=== 乘數公式 ===

個別二項式係數可用以下公式計算：

:<math>\binom nk = \frac{n^{\underline k}}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots[n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}=\prod_{i=1}^k \frac{n-(k-i)}{i},</math>

上式中第一個分數的分子是一[[階乘冪]]。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從''<math>n</math>''個元素中取出''<math>k</math>''個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的''<math>k</math>''個元素可有多少種排序方式。

=== 階乘公式 ===

二項式係數最簡潔的表達式是[[階乘]]:

:<math> \binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \mbox{for }\ 0\leq k\leq n.</math>

其中「<math>n!</math>」是''<math>n</math>''的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以<math>(n-k)!</math>取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：

{{NumBlk|:|<math> \binom nk = \binom n{n-k} \quad \mbox{for }\ 0\leq k\leq n.</math>|{{EquationRef|1}}}}

=== 一般化形式及其與二項式級數的關係 ===

若將''<math>n</math>''換成任意數值（負數、實數或複數）<math>\alpha</math>，甚至是在任何能為正整數給出[[逆元素]]的[[交換環]]中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展<ref group="注">見{{Harv|Graham|Knuth|Patashnik|1994}}，其中就<math>k<0</math>定義了<math>\tbinom n k = 0</math>，其他一般化形式包括考慮[[#兩參數為實數或複數|兩參數為實數或複數]]時以[[伽瑪函數]]為<math>k<0</math>時定義<math>\tbinom n k</math>，但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效，故未有被廣泛採用。然而，此方法替不等於零的參數下定義則可得出如Hilton, Holton and Pedersen, ''Mathematical reflections: in a room with many mirrors'', Springer, 1997中那種好看的「帕斯卡風車」，但是卻會令[[帕斯卡法則]]在原點失效。</ref>：

:<math>\binom \alpha k = \frac{\alpha^{\underline k}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}
  \quad\mbox{for } k\in\N \mbox{ and arbitrary } \alpha.
</math>

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故<math>\tbinom\alpha k</math>仍能相稱地稱作二項式係數：

{{NumBlk|:|<math> (1+X)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} X^k.</math>|{{EquationRef|2}}}}

此公式對任何複數''<math>\alpha</math>''及<math>X</math>，<math>\left \vert X \right \vert <1</math>時成立，故此亦可視作<math>X</math>的[[冪級數]]的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

:<math>(1+X)^\alpha(1+X)^\beta=(1+X)^{\alpha+\beta} \quad\mbox{and}\quad ((1+X)^\alpha)^\beta=(1+X)^{\alpha\beta}.</math>

若''<math>\alpha</math>''是一非負整數''<math>n</math>''，則所有<math>k>n</math>的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於''<math>\alpha</math>''的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

== 帕斯卡三角形 (楊輝三角) ==
[[File:Pascal's triangle - 1000th row.png|150px|right|thumb|帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰階表示係數的十進制數位，向右對齊，故左邊邊界約是二項式係數的對數，圖中可見數族形成一[[對數凹數列]]。]]

{{Main|帕斯卡法則}}
{{Main|帕斯卡三角形}}

[[帕斯卡法則]]是一重要的[[遞歸]]等式：
{{NumBlk|:|<math> {n \choose k} +  {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1},</math>|{{EquationRef|3}}}}
此式可以用於[[數學歸納法]]，以証明<math> \tbinom n k</math>對於所有''<math>n</math>''和''<math>k</math>''均為自然數（等同於証明<math>k!</math>為所有''<math>k</math>''個連續整數之積的因數），此特性並不易從[[#定義及概念|公式(1)]]中得出。

帕斯卡法則建構出[[帕斯卡三角形]]:
:{|
|-
|0: || || || || || || || || ||1|| || || || || || || || 
|-
|1: || || || || || || || ||1|| ||1|| || || || || || || 
|-
|2: || || || || || || ||1|| ||2|| ||1|| || || || || || 
|-
|3: || || || || || ||1|| ||3|| ||3|| ||1|| || || || || 
|-
|4: || || || || ||1|| ||4|| ||6|| ||4|| ||1|| || || || 
|-
|5: || || || ||1|| ||5|| ||10|| ||10|| ||5|| ||1|| || || 
|-
|6: || || ||1|| ||6|| ||15|| ||20|| ||15|| ||6|| ||1|| || 
|-
|7: || ||1&nbsp;|| ||7&nbsp;|| ||21|| ||35|| ||35|| ||21|| ||7&nbsp;|| ||1&nbsp;|| 
|-
|8: ||1&nbsp;|| ||8&nbsp;|| ||28|| ||56|| ||70|| ||56|| ||28|| ||8&nbsp;|| ||1&nbsp;
|} <!--There is a wider cell made with &nbsp; in 1-digit columns, so triangle becomes more graphically symmetrical -->

第''<math>n</math>''橫行列出<math> \tbinom n k</math>的<math>k=0,\ldots ,n</math>項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

:<math>(x+y)^5=\boldsymbol{1}x^5+\boldsymbol{5}x^4 y+\boldsymbol{10}x^3 y^2+\boldsymbol{10}x^2 y^3+\boldsymbol{5}xy^4+\boldsymbol{1}y^5</math>

在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式({{EquationNote|3}})的延伸意義。

== 組合數學和統計學 ==

二項式係數是[[組合數學]]中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如
* 共有<math>\tbinom n k</math>種方式從''<math>n</math>''元素中選取''<math>k</math>''項。見[[組合]]。
* 共有<math>\tbinom {n+k-1}k</math>種方式從一個''<math>n</math>''元素集合中選取（容許重覆選取）''<math>k</math>''元素建立[[多重集]]。
* 共有<math> \tbinom {n+k} k</math>個[[字符串]]包含''<math>k</math>''個1和''<math>n</math>''個零。
* 共有<math> \tbinom {n+1} k</math>個字符串包含''<math>k</math>''個1和''<math>n</math>''個零，且沒有兩個1相鄰。<ref group="参">{{cite journal|last=Muir|first=Thomas|title=Note on Selected Combinations|journal=Proceedings of the Royal Society of Edinburgh|year=1902|url=http://books.google.com/books/reader?id=EN8vAAAAIAAJ&output=reader&pg=GBS.PA102}}</ref>
* [[卡塔蘭數]]是<math>\frac {\tbinom{2n}n}{n+1}</math>
* [[統計學]]中的[[二項式分佈]]是<math>\tbinom n k p^k (1-p)^{n-k} \!</math>
* [[貝茲曲線]]的公式。

== 以多項式表達二項式係數 ==

就任就非負整數''<math>k</math>''，<math>\scriptstyle{\binom{t}{k}}</math>可表達為一多項式除以<math>k!</math>：

:<math>\binom{t}{k} =\frac{(t)_k}{k!}=\frac{(t)_k}{(k)_k}= \frac{t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots(2)(1)};\,\!</math>

此為帶[[有理數]]係數，變量是<math>t</math>的[[多項式]]，可對任意實數或複數''<math>t</math>''運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於[[二項式定理#推廣|牛頓廣義二項式定理]]。

就任意''<math>k</math>''，多項式<math>\tbinom{t}{k}</math>可看成是惟一的''<math>k</math>''次多項式<math>p(t)</math>滿足<math>p(0)=p(1)=\ldots=p(k-1)=0</math>及<math>p(k)=1</math>.

其係數可以[[斯特靈數|第一類斯特靈數]]表示，即：
:<math>\binom{t}{k} = \sum_{i=0}^k \frac{s_{k,i}}{k!} t^i</math>
<math>\tbinom{t}{k}</math>之[[導數]]可以[[微分|對數微分]]計算：
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \binom{t}{k} = \binom{t}{k} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{t-i}\,.</math>

=== 以二項式係數為多項式空間之基底 ===

在任何包含[[有理數|'''Q''']]的[[域 (數學)|域]]中，最多<math>d</math>階的多項式有惟一的線性組合<math>\sum_{k=0}^d a_k \binom{t}{k}</math>。係數<math>a_k</math>是數列<math>p(0), p(1), \ldots , p(k)</math>的[[差分|第''k''差分]]，亦即：
<ref group="注">此可視作[[泰勒定理]]的離散形式，亦與[[牛頓多項式]]有關，此式的交錯項之和可以[[Nörlund–Rice積分]]表示。</ref>
{{NumBlk|:|<math>a_k = \sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom{k}{i} p(i).</math>|{{EquationRef|3.5}}}}

=== 整數值多項式 ===

每一多項式<math>\tbinom{t}{k}</math>在整數參數時均是整數值（可在''<math>k</math>''上，用[[帕斯卡法則]]以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，({{EquationNote|3.5}})表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域''<math>k</math>''的任何子環<math>R</math>，在<math>K[t]</math>內的多項式在整數參數時之值均在''<math>R</math>''內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的''<math>R</math>''-線性組合。

整數值多項式<math>\frac{3t(3t+1)}{2}</math>可表達作：
:<math>9\tbinom{t}{2} + 6 \tbinom{t}{1} + 0\tbinom{t}{0}</math>

从<math>t=1,2,3</math>时<math>\frac{3t(3t+1)}{2}=6,21,45</math>用[[帕斯卡矩阵]]的[[逆矩阵|逆]]可算出：

:<math>\begin{pmatrix} \tbinom{t-1}{0} & \tbinom{t-1}{1} & \tbinom{t-1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 0\\1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 21 \\ 45 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tbinom{t-1}{0} & \tbinom{t-1}{1} & \tbinom{t-1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \\ 9 \end{pmatrix}</math>

:<math>=6\tbinom{t-1}{0} + 15\tbinom{t-1}{1} + 9\tbinom{t-1}{2}=6\tbinom{t}{1} + 9\tbinom{t}{2}</math>

这种二項式係數多項式结合[[朱世杰恒等式]]应用于[[等幂求和]]。

== 有關二項式係數的恆等式 ==
===关系式===
階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在''<math>k</math>''是正整數時，對任意''<math>n</math>''有：

* <math> \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}</math>
* <math> \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}</math>
* <math>\binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.</math>

两个组合数相乘可作变换：
:<math>\binom ni \binom im=\binom nm \binom {n-m}{i-m}</math><ref group="参">{{cite web|url=http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=7&Id=3952&page=10|title=两个排列组合求和公式}}</ref>

===一阶求和公式===
* <math> \sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n} </math>
* <math> \sum_{r=0}^k \binom {n+r-1}r = \binom {n+k}k </math>
* <math> \sum_{r=0}^{n-k} \frac {(-1)^r (n+1)}{k+r+1} \binom {n-k}r = \binom nk^{-1} </math>
* <math> \sum_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi r i}{d}})^{dn}</math><ref group="参">{{cite journal|author=赵丽棉 黄基廷|year=2010|title=n次单位根在代数问题中的应用|journal=高等数学研究|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-XUSJ201004014.htm}}</ref>
:* <math> \sum_{i=m}^n \binom {a+i}{i} = \binom {a+n+1}{n} - \binom {a+m}{m-1} </math>
:<math> \binom {a+m}{m-1} + \binom {a+m}{m} + \binom {a+m+1}{m+1} + ... + \binom {a+n}{n} = \binom {a+n+1}{n} </math>

* <math> F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}</math><ref group="参">{{cite journal|author=徐更生 何廷模|year=1991|title=斐波那契数列与组合数的一个关系及推广|journal=中学教研|issue=10|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXJI199110005.htm}}</ref>
:<math> F_{n-1}+F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F_{n+1}</math>

{{main|朱世杰恒等式}}
* <math> \sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1} </math>
: <math> \binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1} </math>

===二阶求和公式===
* <math> \sum_{r=0}^n {\binom nr}^2 = \binom {2n}n </math>
:* <math>\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}=\binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1}</math><ref group="参">{{cite journal|author=伍启期|year=1996|title=组合数列求和|journal=佛山科学技术学院学报(自然科学版)|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX604.002.htm}}</ref>

:<math>(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(1-x)^{-r_1-r_2}</math>

:<math>(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+n-1}{r_1-1} x^n)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_2+n-1}{r_2-1} x^n)=\sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}) x^n </math>

:<math>(1-x)^{-r_1-r_2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1} x^n</math>

{{main|范德蒙恒等式}}
* <math>\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\binom {n+m}k</math>

===三阶求和公式===
{{main|李善兰恒等式}}

*<math>{\binom {n+k}k}^2=\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}</math>

== 備註 ==
{{reflist|group=注}}

== 參考文獻 ==
{{reflist|group=参}}

* [[Arthur T. Benjamin|Benjamin, Arthur T.]]; Quinn, Jennifer (2003). [https://www.maa.org/EbusPPRO/Bookstore/ProductDetail/tabid/170/Default.aspx?ProductId=675 Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof ], Mathematical Association of America.
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* {{cite book
 | last=Flum   | first=Jörg
 | last2=Grohe | first2=Martin
 | title = Parameterized Complexity Theory | year = 2006 | publisher = Springer
 | url = http://www.springer.com/east/home/generic/search/results?SGWID=5-40109-22-141358322-0
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* {{cite book | first=Ronald L.  | last=Graham     | authorlink= Ronald Graham
             | first2=Donald E. | last2=Knuth     | author2-link= Donald Knuth
             | first3=Oren      | last3=Patashnik | author3-link= Oren Patashnik
  | title=Concrete Mathematics | publisher=Addison-Wesley | year=1994 | edition=Second | isbn= 0-201-55802-5 | pages=153–256 | ref=harv
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  |title=Handbook of writing for the mathematical sciences
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* {{cite book | first=Donald E.| last=Knuth | authorlink=Donald Knuth
  | title=The Art of Computer Programming, Volume 1: ''Fundamental Algorithms'' | edition=Third | publisher=Addison-Wesley
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* {{cite journal | first=David | last=Singmaster | authorlink=David Singmaster
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* {{cite book |first=G. E. |last=Shilov |title=Linear algebra |publisher=Dover Publications |year=1977 |isbn=9780486635187|ref=harv}}
==参见==
*[[组合]]

==外部連結==
*[https://web.archive.org/web/20110718193048/http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/komb.php?language=english Calculation of Binomial Coefficient]

{{Planetmath | id  =  273 | title = Binomial Coefficient}}

{{Planetmath | id = 4074 | title = Bounds for binomial coefficients}}

{{Planetmath | id = 6744 | title = Proof that C(n,k) is an integer}}

{{Planetmath | id = 6309 | title = Generalized binomial coefficients}}

[[Category:组合数学]]
[[Category:整数数列|E]]
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