查看“交換子”的源代码

{{expand|time=2018-07-11T05:39:59+00:00}}
{{noteTA
|1=zh-hans:经典; zh-hant:古典;
|G1=Physics
}}
在[[抽象代数]]中，一个群的'''交換子'''（commutator）或'''换位子'''是一个[[二元運算子]]。设''g''及''h''  是 群''G''中的元素，他們的'''交換子'''是''g''<sup> −1</sup> ''h''<sup> −1</sup> ''gh''，常記為[ ''g'', ''h'' ]。只有当''g''和''h''符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个[[群]]的[[单位元]]。

一个群''G''的全部交换子生成的子群叫做群''G''的[[导群]]，记作''D(G)''。

== 群論 ==

[[群]]{{mvar|G}}中两个元素{{mvar|g}}和{{mvar|h}}的'''交换子'''为元素
: {{math|[''g'', ''h''] {{=}} ''g''<sup>−1</sup>''h''<sup>−1</sup>''gh''}}

它等于群的幺元当且仅当{{mvar|g}}和{{mvar|h}}可交换（即{{math|''gh'' {{=}} ''hg''}}）。

== 環論 ==

[[环]]或[[结合代数]]上两个元素''a''和''b''的'''交换子'''定义为：
: <math>[a, b] = ab - ba.</math>

== 量子力學 ==
[[量子力学]]中，经常用到'''对易关系'''（'''commutation relation'''），即

:<math>[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}</math>；

其中；<math>\hat{A}</math>、<math>\hat{B}</math>均为量子力学的[[算符]]，<math>[\hat{A}, \hat{B}]</math>是其对易算符，也称'''交换子'''。

如果上式等于零，则称<math>\hat{A}</math>、<math>\hat{B}</math>是'''对易'''的，即意味着<math>\hat{A}</math>和<math>\hat{B}</math>两个算符的运算顺序可以调换。反之则称'''非对易'''的，运算顺序不可以调换。

量子力學中，'''交換子'''有以下特性:

:<math>[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]</math>
:<math>[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}+\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]+[\hat{B},\hat{C}]</math>
:<math>[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}+\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]</math>
:<math>[\hat{A},\hat{A}^n]=0,\quad n=1,2,3...</math>
:<math>[k\hat{A},\hat{B}]=[\hat{A},k\hat{B}]=k[\hat{A},\hat{B}]</math>
:<math>[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]]+[\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]]+[\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] = 0</math>

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下，<math>\hat{x}</math>是[[坐标算符]]、<math>\hat{p}</math>是[[动量算符]]、<math>\hat{L}</math>是[[角动量算符]]（包括轨道角动量、自旋角动量等），而<math>\delta_{ij}</math>是[[克罗内克δ]]、<math>\epsilon_{ijk}</math>是[[列維-奇維塔符號]]。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

{| class="wikitable"
 |-
 ! 对易关系 !! 更具体的形式
|-
| <math>[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = 0</math> || <math>[\hat{x}, \hat{x}] = 0</math>、<math>[\hat{x}, \hat{y}] = 0</math>
|-
| <math>[\hat{p}_i, \hat{p}_j] = 0</math> || <math>[\hat{p}_x, \hat{p}_x] = 0</math>、<math>[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = 0</math>
|-
| <math>[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}</math> || <math>[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar</math>、<math>[\hat{x}, \hat{p}_y] = 0</math>、<math>[\hat{y}, \hat{p}_x] = 0</math>、<math>[\hat{y}, \hat{p}_y] = i\hbar</math>
|-
| <math>[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar \epsilon_{ijk}\hat{L}_k</math> || <math>[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z</math>、<math>[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x</math>、<math>[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y</math>
|}

=== 正則對易關係 ===
[[物理學]]中，'''正則對易關係'''是[[正則坐標|正則共軛]]的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的[[傅立葉變換]]的結果。舉例來說：
:<math>[x,p] = i\hbar</math>

上面的''x''與''p''分別為一維空間中的一點粒子的[[位置]]與[[動量]]，而<math>[x,p]=xp-px</math>為所謂<math>x</math>與<math>p</math>的[[交換算符]]，<math>i</math>是[[虛數單位]]，<math>\hbar</math>為[[約化普朗克常數]]，等於<math>h/2\pi</math>。此一關係常歸功於[[馬克斯·玻恩]]，並且此式子暗示了以海森堡為名的[[不確定性原理]]。

=== 與古典力學的關係 ===
相對於[[量子力學]]，[[古典物理]]中所有[[可觀測量]]都可對易（交換），而[[交換算符]]會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成[[泊松括號]]，且常數<math>i\hbar</math>換成<math>1</math>：
:<math>\{x,p\} = 1 \,\!</math>

這樣的觀察導致了[[保羅·狄拉克]]提出假設：一般來說，古典的觀測量<math>f,g</math>其量子對應項<math>\hat f,\hat g</math>應滿足
:<math>[\hat f,\hat g]= i\hbar\widehat{\{f,g\}} \,</math>。

於1927年，[[赫尔曼·外尔]]（Hermann Weyl）指出了量子算符與[[相空間]]中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作[[魏爾量子化]]（Weyl quantization），為了一種稱作[[形變量子化]]（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。

== 相關條目 ==
*[[正則量子化]]
*[[正則變換]]
*[[李導數]]
*[[群]]
*[[李代數]]
*[[泊松括號]]
*[[雅可比恆等式]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:量子力學|Z]]
[[Category:量子力学|D]]
[[Category:抽象代数|J]]
[[Category:二元運算|J]]
[[Category:群论|J]]