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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Commutative Addition.svg|right|thumb|400px|一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子]]

'''交換律'''(Commutative property)是被普遍使用的一個[[數學]]名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的[[數學證明]]需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才被聲明。

== 一般用法 ==

'''交換律'''是一個和[[二元運算]]及[[函數]]有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在[[群論]]和[[集合論]]中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在[[數學分析]]和[[線性代數]]中，一些知名的運算（如實數及複數上的[[加法]]和[[乘法]]）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。<ref>Axler, p.2</ref><ref>Gallian, p.34</ref><ref>p. 26,87</ref>

== 數學定義 ==
「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中<ref>Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>：

1. 在[[集合]] <math>S</math> 的一[[二元運算]] <math>*</math> 被稱之為「可交換」的，若：
:<math>\forall  x,y \in  S, x * y = y * x </math>

* 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱 <math>x</math> 在 <math>*</math> 下和 <math>y</math> 「可交換」，即表示：
:<math>x * y = y * x</math>

3. 一[[二元函數]]<math> f:A \times A \to B</math>被稱之為「可交換」的，若：
:<math>\forall  x,y \in  A, f(x,y) = f(y,x)</math>.

== 歷史 ==
[[File:Commutative Word Origin.PNG|left|thumb|250px|對這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上]]

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。[[埃及|埃及人]]用[[乘法]]的交換律來簡化[[乘積]]的計算。<ref>Lumpkin, p.11</ref><ref>Gay and Shute, p.?</ref>且知[[歐幾里得]]在《[[幾何原本]]》中已有假定了乘法交換律的存在。<ref>O'Conner and Robertson, ''Real Numbers''</ref>對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記<ref>Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref><ref>O'Conner and Robertson, ''Servois''</ref>，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的[[英國皇家學會哲學彙刊]]中。<ref>Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref>

== 相關性質 ==

[[File:Symmetry Of Addition.svg|right|thumb|200px|顯示加法函數對稱性的圖]]
=== 結合律 ===
{{main|結合律}}

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

=== 對稱 ===
{{main|對稱}}

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 <math>y = x</math> 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 <math>f</math> 來表示加法（一可交換運算），所以 <math>f(x,y) = x + y</math> ，也因此 <math>f</math> 會是個如右圖所見的對稱函數。

== 例子 ==
=== 日常生活中的可交換運算 ===

* 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
* 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

=== 數學中的可交換運算 ===
[[File:Commutative Multiplication.svg|right|thumb|500px|顯現出乘法 ( <math>5 \times 3 = 3 \times 5</math> ) 的交換律的一個例子]]

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為<ref>Krowne, p.1</ref>：
* [[實數]]的[[加法]]
::<math> y + z = z + y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} </math>
:例如， <math>4 + 5 = 5 + 4</math> ，兩個[[表示式]]都等於 9 。
* [[實數]]的[[乘法]]
::<math> y z = z y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} </math>
:例如， <math>3 \times 5 = 5 \times 3</math> ，兩者都等於 15 。

* 更多可交換二元運算的例子包括[[複數]]的乘法、[[向量空間|向量]]的加法、和[[集合]]的[[交集]]與[[聯集]]。

=== 日常生活中的不可交換運算 ===
[[File:Noncommutative Example Concatenation.svg|thumb|240px|left|[[串接]]（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。]]

* 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
* [[魔術方塊]]是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於[[群論]]中。

=== 數學中的不可交換運算 ===

一些不可交換二元運算<ref>Yark, p.1</ref>有：
* [[減法]]： <math>0-1\neq 1-0</math> ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
* [[除法]]： <math>1\div2\neq 2\div1</math>，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
* [[矩陣]]乘法：
:<math>
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

== 數學結構與交換律 ==

* [[阿貝爾群]]是一個群運算為可交換的[[群]]。<ref>Gallian, p.34</ref>
* [[交換環]]是一個[[乘法]]為可交換的[[環]]。（環中的加法依定義總會是可交換的。）<ref>Gallian p.236</ref>
* [[域 (數學)|域]]的加法與乘法都是可交換的。<ref>Gallian p.250</ref>
* [[中心 (群論)|中心]]是一個群最大的可交換子集。<ref>Gallian p.65</ref>

== 註記 ==
{{reflist|2}}

== 參考資料 ==
=== 書籍 ===

*{{cite book | first=Sheldon | last=Axler | title=Linear Algebra Done Right, 2e | publisher=Springer | year=1997 | id=ISBN 978-0-387-98258-8}}
:''Abstract algebra theory.  Covers commutativity in that context.  Uses property throughout book.
*{{cite book| first=Frederick | last=Goodman | title=Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e | publisher=Prentice Hall | year=2003 | id=ISBN 978-0-13-067342-8}}
:''Abstract algebra theory.  Uses commutativity property throughout book.
*{{cite book|first=Joseph|last=Gallian|title=Contemporary Abstract Algebra, 6e|year=2006|id=ISBN 978-0-618-51471-7}}
:''Linear algebra theory.  Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.''

=== 文章 ===

*https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
:''Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.''
*Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. ''The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text''. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
:''Translation and interpretation of the [[Rhind Mathematical Papyrus]].''

=== 線上資源 ===

*Krowne, Aaron, {{PlanetMath|title=Commutative|urlname=Commutative}}, Accessed 8 August 2007.
:''Definition of commutativity and examples of commutative operations''
*{{MathWorld|title=Commute|urlname=Commute}}, Accessed 8 August 2007.
:''Explanation of the term commute''
*[http://planetmath.org/?op=getuser&id=2760 Yark]. {{PlanetMath|title=Examples of non-commutative operations|urlname=ExampleOfCommutative}}, Accessed 8 August 2007
:''Examples proving some noncommutative operations''
*O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html MacTutor history of real numbers], Accessed 8 August 2007
:''Article giving the history of the real numbers''
*Cabillón, Julio and Miller, Jeff. [https://web.archive.org/web/20010610141442/http://members.aol.com/jeff570/c.html Earliest Known Uses Of Mathematical Terms], Accessed 8 August 2007
:''Page covering the earliest uses of mathematical terms''
*O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html MacTutor biography of François Servois], Accessed 8 August 2007
:''Biography of Francois Servois, who first used the term''

== 另見 ==
*[[反交換律]]
*[[二元運算]]
*[[交換子集合]]
*[[交換子]]
*[[分配律]]
*[[結合律]]
*[[遞移關係]]
{{二元運算的性質}}

[[Category:初等代数|J]]
[[Category:對稱|J]]
[[Category:泛函分析|J]]