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[[数学]]上，[[複平面]]上四点的'''交比'''是
:<math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}</math>。

这个定义可以[[连续函数|连续]]延拓至整个[[黎曼球面]]，即複平面加上[[无穷远点]]。

一般来说，交比可以定义在[[射影直线]]（黎曼球面就是[[複射影直線]]）。在任何[[仿射坐标卡]]中，交比由上式给出。交比是[[射影几何]]的不变量，就是说[[射影变换]]保持交比不变。
从前人们注意到如果四条直线穿过一点''P''，第五条直线''L''不穿过''P''，分别与四条直线交于四点，那么在''L''上按序取四点的有向长度，所算出的交比是独立于''L''。它是这四直线系的不变量。

四个複数的交比为[[实数]]当且唯当四点[[共线]]或[[共圆]]。

==对称==
各著作对交比有不同定义，不过各定义只相异于某些坐标的[[置换]]。一般来说，根据点''z''<sub>''i''</sub>所给出的各种次序，交比可以取六个不同的值。因为四个坐标有24种排列，有些置换保持交比不变。实际上，任意两对坐标对换保持交比：

:<math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = (z_2,z_1;z_4,z_3) = (z_3,z_4;z_1,z_2) = (z_4,z_3;z_2,z_1)\,</math>。

运用这些对称，交比就有6个可能值，由点的次序决定：

{| style="margin-left: 2em;"
| <math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda\,</math>
| width=50px |
| <math>(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}</math>
|-
| <math>(z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}}</math> ||
| <math>(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\,</math>
|-
| <math>(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}</math> ||
| <math>(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}</math>
|}

从[[群论]]来说，[[对称群]]''S''<sub>4</sub>以置换坐标来作用于交比上，这群作用的[[核 (代数)|核]]为[[克莱因四元群]]（这是保持交比的群）。那么有效对称群是其[[商群]]，同构于''S''<sub>3</sub>。

对某些&lambda;值会有更强的对称，交比的可能值就少于六个。这些&lambda;值对应于''S''<sub>3</sub>对黎曼球面的作用的[[不动点]]（由以上六个函数给出）；等价地，就是在置换群内有非平凡[[稳定子群]]的点。

第一个这样的集合是{0, 1, &infin;}。但若四点{''z''<sub>''i''</sub>}相异，交比不可能取这些值。这些值是当有一对坐标彼此趋近时的极限值：
:<math>(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,</math>
:<math>(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,</math>
:<math>(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty\,</math>

第二个这样的集点是{&minus;1, 1/2, 2}。这情况古典上称为「谐和交比」。最对称的交比是当<math>\lambda = e^{\pm i\pi/3}</math>。这时交比只可能是这两个值。

==从变换出发==

交比为黎曼球面的射影变换所保持，也称为[[莫比乌斯变换]]：

:<math>f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad ad-bc \ne 0</math>。

所谓它们保持交比就是指

:<math>(f(z_1), f(z_2); f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2; z_3, z_4)\,</math>。

作用于黎曼球面上的麦比乌斯变换群有一性质：任意3点集要映射到另外的3点集，都存在唯一的麦比乌斯变换。（这个群作用有3重传递性。）所以给出黎曼球面上4点，有唯一变换把其中3点映射到点0，1，和&infin;。第四点映射到的点，与原来四点的交比有关。

要看到这点，注意到

:<math>(z,1;0,\infty) = \lim_{w\to\infty} \frac{z(1-w)}{z-w} = z\,</math>。
所以给出四点 <math>(z_1, z_2; z_3, z_4)</math>可以找到唯一变换''f''作映射
:<math>z_2 \to 1,\; z_3 \to 0,\; z_4 \to \infty</math>。
点<math>z_1</math>就被映射到<math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = f(z_1)</math>。换个角度看，若把交比看为<math>z_1</math>的函数，交比是唯一的变换把点<math>(z_2, z_3, z_4)</math>映射到<math>(1,0,\infty)</math>。

==高等观点==
若四点走近，这理论便有了微分学的一面，从而引领至[[施瓦茨导数]]理论，还有更一般的[[射影联络]]理论。这些理论被应用在[[共形场论]]。

[[Category:射影几何]]