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[[Image:Helmholtz source.png|right|thumb|平面内的两个辐射源，用数学函数 ''&fnof;'' 给出，蓝色区域函数值为零。]]
[[Image:Helmholtz solution.png|right|thumb|所产生的场 ''A'' 的[[复数 (数学)|实部]]，''A'' 为非齐次解亥姆霍兹方程 <math>(\nabla^2 + k^2) A = -f</math> 的解。]]
'''亥姆霍兹方程'''（{{lang-en|'''Helmholtz equation'''}}）是一個描述[[电磁波]]的[[椭圆偏微分方程]]，以德国物理学家[[赫尔曼·冯·亥姆霍兹|亥姆霍兹]]的名字命名。其基本形式如下：

:<math>(\nabla^2 + k^2)A = 0</math>
其中 &nabla;<sup>2</sup> 是[[拉普拉斯算子]]，''k'' 是[[波數]]，''A'' 是[[振幅]]。

== 动机和用途 ==
亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的[[偏微分方程]]的物理问题的研究中。例如，考虑[[波动方程]]：
:<math>\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0.</math>

在假定 ''u''('''r''',&nbsp;''t'') 是可分离变量情况下分离变量得：
:<math>u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t).</math>

将此形式代入波动方程，化简得到下列方程：
:<math>{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2  }.</math>

注意左边的表达式只取决于 '''r'''，而右边的表达式只取决于 ''t''。其结果是，当且仅当等式两边都等于恒定值时，该方程在一般情况下成立。从这一观察中，可以得到两个方程，一个是对 ''A''('''r''') 的，另一个是对 ''T''(''t'') 的：
:<math>{\nabla^2 A \over A } = -k^2 </math>
而
:<math> {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2  } = -k^2</math> 
在不失一般性的情况下，选择 −''k''<sup>2</sup> 这个表达式作为这个常值。（使用任何常数 ''k'' 作为分离常数都同样有效；选择 −''k''<sup>2</sup> 只是为了求解方便。）

调整第一个方程，可以得到亥姆霍兹方程：
:<math>\nabla^2 A + k^2 A  =  ( \nabla^2 + k^2)  A  =  0.  </math>

同样，在用
:<math> \omega  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  kc </math>
进行代换之后，第二个方程成为
:<math>\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T  =  \left( { d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T  =  0,</math>
其中 ''k'' 是分离常数[[波數]]，''&omega;'' 是角频率。注意到现在有了空间变量<math>\boldsymbol{x}</math>的亥姆霍兹方程和一个二阶时间[[常微分方程]]。时间解是一个[[正弦]]和[[余弦]]函数的[[线性组合]]，而空间解的形式依赖于具体问题的[[边界条件]]。经常可以使用[[拉普拉斯变换]]或者[[傅立叶变换]]这样的[[积分变换]]将双曲的偏微分方程转化为亥姆霍兹方程的形式。

因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程在物理学中[[电磁辐射]]、[[地震学]]和[[声学]]等相关研究领域里有着广泛应用。

==參閱==
*[[基爾霍夫積分定理]]

==參考文獻==
* {{cite book|author=Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J.|year=2002|title=''Mathematical methods for physics and engineering''|publisher=Cambridge University Press|pages=ch. 19|isbn=0-521-89067-5}}

==外部連結==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde303.pdf {{lang|en|Helmholtz Equation at EqWorld}}]

[[Category:振动和波]]

[[Category:方程]]
[[Category:椭圆型偏微分方程]]