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{{NoteTA|G1=Math}}

'''代数扩张'''是[[抽象代數]]中[[域扩张]]的一类。一個[[域_(數學)|域]]擴張{{mvar|L/K}}被稱作'''代數擴張'''，[[若且唯若]]{{mvar|L}}中的每个元素都是某个以{{mvar|K}}中元素为系数的非零[[多項式]]的根。反之則稱之为'''超越擴張'''。最簡單的代數擴張例子有：<math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math>、<math>\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}</math>。

== 定义 ==
代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张{{mvar|L/K}}，{{mvar|L}}某个元素如果是一个以{{mvar|K}}中元素为系数的非零[[多項式]]的根，则称其为{{mvar|K}}上的'''代数元'''。如果{{mvar|L}}中所有元素都是{{mvar|K}}上的代数元，就称域扩张{{mvar|L/K}}为代数扩张。

== 次數 ==
設有域擴張{{mvar|L/K}}，{{mvar|L}}可以看作是{{mvar|K}}上的[[向量空間]]，将其維度稱作這個擴張的'''次數'''，记作[{{mvar|L}}:{{mvar|K}}]。有限次數的擴張（簡稱'''[[有限擴張]]'''）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張{{mvar|L/K}}，則{{mvar|L}}裡的任一元素都是{{mvar|L/K}}的某个有限子擴張{{mvar|K}}⊂{{mvar|F}}⊂{{mvar|L}}。但代数扩张本身并不一定是有限扩张一個代數擴張可表作有限子擴張的[[極限_(範疇論)|歸納極限]]。

== 代數擴張與多項式的根 ==
在一個代數擴張{{mvar|L/K}}中，{{mvar|L}}中的每個元素{{mvar|α}}都是某個以{{mvar|K}}中元素为系数的多項式（以下简称{{mvar|K-}}多项式，所有{{mvar|K-}}多项式的集合记作{{math|''K''[''X'']}}）{{mvar|f}}的根。所有以{{mvar|α}}为根的{{mvar|K-}}多項式中次數最低者稱作{{mvar|α}}的'''极小多項式'''（通常要求其为首一多项式，即最高次项係數等於一，以保證唯一性）。极小多項式總是不可约多項式。

若{{mvar|K-}}多项式{{mvar|f}}不可約，則商環{{math|''L'' :{{=}} {{sfrac|''K''[''X'']|( ''f'' )}}}}是{{mvar|K}}的一個域擴張，它的次数{{math|[''L'' : ''K''] {{=}} deg(''f'')}}，而且不定元{{mvar|X}}在商环中的像是在{{mvar|f}}的一個在{{mvar|L}}中的根，其极小多項式正是{{mvar|f}}。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如<math>\mathbb{R}[X]/(X^2+1)</math>就是在实数域中添加了[[虚数单位]]{{mvar|i}}得到的扩域：[[複數域]]<math>\mathbb{C}</math>。

给定域扩张{{mvar|L/K}}，如果{{mvar|K-}}多项式{{mvar|f}}可以在{{mvar|L}}中分解成一次因子的積，則稱{{mvar|f}}在{{mvar|L}}中'''分裂'''。根據上述構造，總是可以找到一個足夠大的代數擴張{{mvar|K'/K}}使得{{mvar|f}}分裂；{{mvar|K'}}裡滿足此性質的“最小”子擴張稱作{{mvar|f}}在{{mvar|K}}上的'''[[分裂域]]'''。{{mvar|f}}在{{mvar|K}}上的任兩個分裂域至多差一個{{mvar|K}}上的[[同構]]（即：一個限制在{{mvar|K}}上的部分為[[恆等映射]]的[[環同構]]）。

== 正規擴張 ==
{{Main|正规扩张}}

正规扩张是研究[[多项式]]的根时所用到的概念。一個代數擴張{{mvar|L/K}}被稱作'''正規擴張'''，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

* 固定代數閉包{{math|''K''<sup>alg</sup>}}，任何{{mvar|K}}上的（即在{{mvar|K}}上是恆等映射的）域嵌入{{math|''σ'' : ''L'' → ''K''<sup>alg</sup>}}，都有{{math|''σ''(''L'') {{=}} ''L''}}。
* 存在一族在{{mvar|L}}上分裂的多項式<math>(f_i)_{i \in I} \subset K[X]</math>，使得{{mvar|L/K}}是在{{mvar|K}}中添加它們的根生成的域扩张。
* {{math|''K''[''X'']}}中任何不可約多項式若在{{mvar|L}}裡有根，則在{{mvar|L}}裡分裂（全部的根都在{{mvar|L}}里面）。
正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着{{math|''K''[''X'']}}里的一个多项式。

=== 例子 ===
* <math>x^2 + 1\,</math> 在<math>\mathbb{R}</math>上的分裂域是<math>\mathbb{C}</math>。
* <math>x^3 + 2\,</math> 在<math>\mathbb{Q}</math>上的分裂域是<math>\mathbb{Q}( e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}} }, \sqrt[3]{2})</math>。
* <math>(x^2 - 2)(x^2 - 3)\,</math> 在<math>\mathbb{Q}</math>上的分裂域是<math>\mathbb{Q}( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{2} + \sqrt{3} )</math>。
* <math> \mathbb{Q}(\sqrt{2})/ \mathbb{Q}</math> 是正規域擴張， <math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/ \mathbb{Q}</math>卻不是，因為後者並沒有包括<math>x^3-2\,</math>的所有根，欠了<math>\sqrt[3]{2} e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}, \sqrt[3]{2} e^{- \frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}</math>。

== 可分擴張 ==
{{Main|可分扩张}}

設{{mvar|L/K}}為代數擴張，如果{{mvar|α}}的极小多項式沒有重根，則稱{{mvar|α}}'''可分'''（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於{{math|(''f'', ''f' '') {{=}} }}1，這可以直接在{{mvar|K}}中計算）。所有可分元素形成一個中间域{{mvar|K}}⊂{{mvar|F}}⊂{{mvar|L}}，{{math|[''L'' : ''K'']<sub>''s''</sub> :{{=}} [''L''<sub>''s''</sub> : ''K'']}}稱作{{mvar|L/K}}的'''可分次數'''。若{{math|''L''<sub>''s''</sub> {{=}} ; ''L''}}，則稱{{mvar|L/K}}是'''可分擴張'''。

當{{mvar|L/K}}是有限擴張時，定義'''不可分次數'''{{math|[''L'' : ''K'']<sub>''i''</sub> :{{=}} {{sfrac|[''L'' : ''K'']|[''L'' : ''K'']<sub>''s''</sub>}}}}。當基域的[[特征 (代数)|特徵]]為零時，任何代數擴張都是可分的；任何[[有限域]]的擴張也都是可分的。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

== 外部链接 ==
* [http://math.ntnu.edu.tw/~li/galois-html 簡介 Galois 理論 /李華介 ]

{{-}}
{{ModernAlgebra}}

[[Category:域論]]