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在[[代數幾何]]中，一條'''代數曲線'''是一維的[[代數簇]]。最典型的例子是射影平面<math>\mathbb{P}^2</math>上由一個[[齊次多項式]]<math>f(X,Y)</math>定義的零點。

== 仿射曲線 ==
定義在[[域]]<math>F</math>上的仿射代數曲線可以看作是<math>F^n</math>中由若干個<math>n</math>-元多項式<math>g_i \in F[x_1, \ldots, x_n]</math>定義的公共零點，使得其[[克鲁尔维数|维数]]為一。

利用[[結式]]，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之[[雙有理等價]]的平面代數曲線<math>f(x,y)=0</math>，其中<math>f \in F[x,y]</math>，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

== 射影曲線 ==
[[射影空間]]中的曲線可視作仿射曲線的[[緊化]]，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程<math>g_i = 0</math>（<math>i=1, \ldots, n-1</math>）中，我們作代換：
: <math>g_i(x_1, \ldots, x_n) \longrightarrow (X_0)^{\deg g_i} g_i\left(\frac{X_1}{X_0}, \ldots, \frac{X_n}{X_0}\right) </math>

遂得到<math>n-1</math>個齊次多項式，它們在射影空間<math>\mathbb{P}^n_F</math>中定義一條曲線，此射影曲線與開集<math>U_0 := \{(X_0: \cdots: X_n) | X_0 \neq 0 \}</math>的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括<math>\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}}</math>中的費馬曲線<math>X^n + Y^n + Z^n=0</math>，其上的有理點對應到費馬方程<math>X^n+Y^n=Z^n</math>的互素整數解。

== 代數函數域 ==
{{further|函數域}}
代數曲線之研究可化約為[[不可約成份|不可約]]代數曲線之研究，後者的範疇在[[雙有理等價]]之意義下等價於[[函數域|代數函數域]][[範疇論|範疇]]。域<math>F</math>上的函數域<math>K</math>是[[超越次數]]為一的有限型域擴張，換言之：存在元素<math>x \in K</math>使得<math>x</math>在<math>F</math>上[[超越數|超越]]，而且<math>K/F(x)</math>是[[代數擴張|有限擴張]]。

以複數域<math>\mathbb{C}</math>為例，我們可以定義複係數[[有理函數]]域<math>\mathbb{C}(x)</math>。變元<math>x, y</math>對代數關係<math> y^2 =x^3-x-1</math>生成的域<math>\mathbb{C}(x,y) </math>是一個[[橢圓函數]]域，代數曲線<math> \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : y^2 = x^3 - x - 1 \}</math>  給出它的一個幾何模型。

若基[[域]]<math>F</math>非[[代數封閉域]]，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域<math>F := \mathbb{R}</math>並考慮其上的代數曲線<math>x^2 + y^2 + 1 = 0</math>，此方程定義了一個<math>\mathbb{R}[x]</math>的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而
: <math>\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 + 1 = 0 \} = \emptyset </math>

[[代數封閉域]]上的代數曲線可以用[[代數簇]]完整地描述，對於一般的基域或者[[環]]上的曲線論，[[概形|概形論]]能提供較合適的框架。

== 複代數曲線與黎曼曲面 ==
{{further|黎曼曲面}}
複射影曲線可以嵌入<math>n</math>維複射影空間<math>\mathbb{C}P^n</math>。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊[[黎曼曲面]]，即一維的緊[[複流形]]，因而是可定向的二維緊[[光滑流形|流形]]。這時該曲面的拓撲[[虧格]]（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的'''虧格'''。視這類曲線為[[黎曼曲面]]，則可以採[[複分析]]手法加以研究。另一方面，[[黎曼]]則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的[[範疇論|範疇]]：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與<math>\mathbb{C}</math>上的函數域。因此一維[[複分析]]（包括[[位勢論]]）、[[代數幾何]]與[[域]]論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。

[(P=c) end if=0] 


[(P=c) end if=0]


== 奇點 ==
N-1n+1=0


=== 判斷方式 ===
曲線在一點<math>P</math>的平滑性可以用[[雅可比矩陣]]判斷。以下考慮嵌於<math>\mathbb{P}^n</math>中的曲線：設該曲線由<math>n-1</math>個<math>n+1</math>個變元的[[齊次多項式]]<math>g_1, \ldots, g_{n-1}</math>定義，若其雅可比矩陣<math>\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{i,j}</math>在區線上一點<math>P</math>滿秩，則稱它<math>P</math>點光滑；反之則稱為[[奇點]]。在一點的平滑性與多項式<math>g_1, \ldots, g_{n-1}</math>的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子，假設曲線<math>C</math>由齊次方程式<math>f(x,y,z)=0</math>定義，則<math>C</math>的奇點恰為<math>C</math>上使得<math>\nabla f</math>為零的點，即：

:<math>\frac{ \partial f }{ \partial x }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial y }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial z }(P)=0 \quad (P \in C)</math>

在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即'''平滑曲線'''。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的[[拉開]]映射或[[正規概形|正規化]]解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對[[代數封閉域]]上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的[[幾何虧格]]，後者是個雙有理不變量。

=== 奇點分類 ===
[[File:Cusp.png|thumb|''x''<sup>3</sup> = ''y''<sup>2</sup>]]
曲線的[[奇点 (几何)|奇點]]包括[[叉點|多重點]]（這是曲線的自交點）及[[尖點]]（如仿射曲線<math>x^3=y^2</math>之於原點<math>(0,0)</math>，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線<math>f(x,y)=0</math>在一點<math>P</math>的奇點性質可以透過下述方式理解：

透過平移，不妨假設<math>P=(0,0)</math>。將多項式<math>f(x,y)</math>寫成
: <math> f(x,y) = \sum_{n \geq 1} f_n(x,y) </math>
其中<math>f_n(x,y)</math>是<math>n</math>次[[齊次多項式]]。直觀地想像，<math>f(x,y)=0</math>在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為<math>f_m(x,y)</math>。根據齊次性可以將之分解成
: <math> f_m(x,y) = \prod _{i=1}^m (a_i x - b_i y) </math>
換言之，曲線在原點附近將近似於<math>m</math>條（含重複）直線<math>a_i x - b_i y = 0</math>的聯集。上式中相異的直線數<math>r</math>稱作'''分支數'''，正整數<math>m</math>稱作平面曲線在該點的'''重數'''，此外還有一個內在的不變量<math>\delta_P := \dim \mathcal{O}_{\tilde{C},P}/\mathcal{O}_{C,P}</math>，其中<math>\tilde{C} \rightarrow C </math>是該曲線的[[正規概形|正規化]]態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如''一般尖點''對應到<math>[2,1,1]</math>，''一般雙重點''對應到<math>[2,1,2]</math>，而''一般n重點''則對應到<math>[n,\frac{n(n-1)}{2}, n]</math>。

各奇點的不變量δ<sub>P</sub>決定平面曲線<math>f(x,y)=0</math>的虧格：設<math>\deg f = d</math>，則有
:<math>g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,</math>

對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為'''Milnor數'''：同樣假設<math>P=(0,0)</math>，在原點附近夠小的四維球<math>B_\epsilon := \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 < \epsilon \} </math>內有<math>(x,y) \neq (0,0) \Rightarrow \nabla f(x,y) \neq 0</math>，此時有連續映射
: <math> \nabla f(x,y) : B_\epsilon - \{(0,0)\} \rightarrow  B_\epsilon - \{(0,0)\}</math>
由於<math>B_\epsilon - \{(0,0)\}</math> [[同倫|同倫等價]]於三維球面<math>\mathbb{S}^3</math>，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明：
: <math>\mu = 2\delta -r + 1 </math>

事實上，<math>\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : f(x,y)=0 \} \cap \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \}</math>在ε夠小時是<math>\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \} \cong \mathbb{S}^3</math>中的一個環圈，稱作'''奇點環圈'''，它具有複雜的拓撲性質。例如：<math>x^3=y^2</math>在尖點附近的奇點環圈是[[三葉結]]。

== 曲線的例子 ==

=== 有理曲線 ===
域<math>F</math>上的'''有理曲線'''是[[雙有理等價]]於射影直線<math>\mathbb{P}^1_F</math>的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域<math>F(t)</math>。當<math>F</math>代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由<math>x^2+y^2+1=0</math>給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。

具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目[[有理正規曲線]]。

任何<math>F</math>上有有理點的[[圓錐曲線]]都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點<math>P</math>而斜率為<math>t</math>的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於<math>F</math>的根已知，即<math>P</math>的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於<math>F</math>，而且能表作<math>t</math>在<math>F</math>上的有理函數。y坐標的作法相同。

[[File:Rotated elipse.png|thumb|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup> = 1]]

'''例'''。考慮斜橢圓<math>E: x^2+xy+y^2=1</math>，其中<math>(-1,0)</math>是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線<math>y=t(x+1)</math>，並帶入E的等式，於是得到：

:<math>x = \frac{1-t^2}{1+t+t^2}</math>。
:<math>y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2}</math>

這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線
:<math>X^2+XY+Y^2=Z^2 \,\!</math>
以上參數化遂表為
:<math>X=1-t^2,\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^2+t+1 \,\!</math>

若取<math>t</math>為整數，對應的<math>X,Y,Z</math>是[[不定方程]]<math>X^2+XY+Y^2=Z^2</math>的整數解；若將<math>X</math>代以<math>-X</math>，則此方程詮釋為θ=60°時的[[餘弦定理]]，藉此能描述所有一角為  60°且邊長均為整數的三角形，例如取<math>t=2</math>，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。

=== 橢圓曲線 ===
{{further|橢圓曲線}}
[[橢圓曲線]]可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的[[三次曲線]]。此時通常取無窮遠處的[[反曲點]]為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-[[魏爾施特拉斯]]形式：

:<math>y^2z + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2 x^2z + a_4 xz^2 + a_6 z^3. \,\!</math>

橢圓曲線帶有唯一的[[阿貝爾群]]結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個[[阿貝爾簇]]。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於<math>\mathbb{C}/\Lambda</math>，其中的<math>\Lambda</math>由相應的[[橢圓函數]]給出。

=== 虧格大於一的曲線 ===
對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據Faltings定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為[[黎曼曲面]]，它們則帶有[[雙曲幾何]]的結構。例子包括{{le|超橢圓曲線|Hyperelliptic curve}}、{{le|克萊因四次曲線|Klein quartic}}與一開始提到的{{le|費馬曲線|Fermat curve}}在<math>n \geq 4</math>的情形。

== 文獻 ==

* Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, ''Plane Algebraic Curves'', John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
* Claude Chevalley, ''Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable'', American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, ''Riemann Surfaces'', Springer, 1980
* Phillip A. Griffiths, ''Introduction to Algebraic Curves'', Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
* Robin Hartshorne, ''Algebraic Geometry'', Springer, 1977
* Shigeru Iitaka, ''Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties'', Springer, 1982
* John Milnor, ''Singular Points of Complex Hypersurfaces'', Princeton University Press, 1968
* George Salmon, ''Higher Plane Curves'', Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
* Jean-Pierre Serre, ''Algebraic Groups and Class Fields'', Springer, 1988

[[Category:曲線]]
[[Category:代數曲線|*]]
[[Category:代數幾何|D]]