查看“以2為底的對數”的源代码

[[File:Binary logarithm plot with ticks.svg|thumbnail|right|upright=1.35|对于正实数 {{Math|''x''}} 定义的函数 {{Math|1=''f''(''x'') = log<sub>2</sub> ''x''}} 的图像]]

在[[数学]]中，以 {{Math|2}} 为底的[[对数]]（{{Math|log<sub>2</sub> ''n''}}）是为了得到 {{Math|''n''}} 必须将 {{Math|2}} 乘方的指数。即，对于任何实数 {{Math|''x''}}，
:<math>x = \log_2 n \Leftrightarrow 2^x = n</math>

例如，{{Math|1=log<sub>2</sub> 1 = 0}}，{{Math|1=log<sub>2</sub> 2 = 1}}，{{Math|1=log<sub>2</sub> 4 = 2}}，{{Math|1=log<sub>2</sub> 32 = 5}}。

以 {{Math|2}} 为底的对数是[[2的幂|以 {{Math|2}} 为底的指数函数]]的[[反函数]]，又记作 {{Math|lb ''n''}}（[[ISO 31-11]]与[[ISO 80000-2]]标准规定的记法），{{Math|ld ''n''}} 或 {{Math|lg ''n''}} <ref>{{Cite book|title=''Introduction to Algorithms''|last=Cormen|first=Thomas H.|publisher=Massachusetts Institute of Technology|year=2009|isbn=978-0-262-03384-8|location=the United States of America|pages=56|last2=Leiserson|first2=Charles E.|last3=Rivest|first3=Ronald L.|last4=Stein|first4=Clifford}}</ref>。在上下文已经说明了底是 {{Math|1=2}} 时，也可以直接使用 {{Math|log}}。

历史上，以 {{Math|2}} 为底的对数最早的应用是在[[音乐理论]]中，由[[莱昂哈德·欧拉]]提出：两个音乐调的频率比的以 {{Math|2}} 为底的对数就是它们相差的[[八度]]的个数。以 {{Math|2}} 为底的对数还可以用来计算一个数在[[二进制]]中的长度，或是在[[信息理论]]中编码一个信息所需的[[比特]]个数。在[[计算机科学]]中，它们决定了[[二叉搜索]]和相关算法的迭代次数。在[[组合学]]、[[生物信息学]]、[[摄影学]]以及[[淘汰制]]赛事的设计中，都常常用到以 {{Math|2}} 为底的对数。

许多数学软件都有计算以 {{Math|2}} 为底的对数的功能。自[[C99]]起的[[math.h|C语言标准数学函数库]]<ref>{{Cite web|url=https://en.cppreference.com/w/c/numeric/math/log2|title=cppreference中的C<code>log2</code>、<code>log2f</code>、<code>log2l</code>文档|accessdate=|author=|date=|publisher=}}</ref>和自[[C++11]]起的C++语言标准数学函数库<ref>{{Cite web|url=https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/log2|title=cppreference中的C++<code>log2</code>、<code>log2f</code>、<code>log2l</code>文档|accessdate=|author=|date=|publisher=}}</ref>中包含了 <code>log2</code>、<code>log2f</code> 及 <code>log2l</code> 函数用来计算以 {{Math|2}} 为底的对数。以 {{Math|2}} 为底的对数的整数部分可以由整数上的最高置位操作或查看[[浮点数]]上的指数部分完成，分数部分也可以高效地计算。

== 历史 ==
[[2的幂|{{Math|2}} 的乘方]]自古以来就被人们所知：例如，它出现在[[几何原本]]第九卷命题 32 和命题 36 中。而一个 {{Math|2}} 的乘方的以 {{Math|2}} 为底的对数仅仅是它在 {{Math|2}} 的乘方的序列中的位置。

== 定义和性质 ==
{{Further|对数恒等式}}

以 {{Math|2}} 为底的对数可以定义为[[2的幂|以 {{Math|2}} 为底的指数函数]]的[[反函数]]。以 {{Math|2}} 为底的指数函数是一个在正[[实数]]上定义的严格递增函数，因而有唯一的反函数。也可以定义为 {{Math|ln ''n''/ln 2}}，其中 {{Math|ln}} 是以任意一种标准方法定义的[[自然对数]]。在这种定义中，如果使用[[复对数]]，那么以 {{Math|2}} 为底的对数的定义就扩展到[[复数]]。例如，[[Microsoft Excel]] 提供了 <code>IMLOG2</code> 函数计算以 {{Math|2}} 为底的复对数。<ref>{{Cite book|title=Excel Scientific and Engineering Cookbook|last=David M.|first=Bourg|publisher=O'Reilly Media|year=2006|isbn=978-0-596-55317-3|location=|pages=232}}</ref>

和其他对数一样，以 {{Math|2}} 为底的对数遵循以下等式，可以用来化简结合以 {{Math|2}} 为底的对数与乘法、乘方的式子：
:<math>\log_2 xy = \log_2 x + \log_2 y</math>
:<math>\log_2 \frac xy = \log_2 x - \log_2 y</math>
:<math>\log_2 x^y = y \log_2 x</math>

== 表示法 ==
在数学中，以 {{Math|2}} 为底的对数通常记为 {{Math|log<sub>2</sub> ''n''}}。然而，还有一些其他表示法。

有些作者用 {{Math|lg ''n''}} 表示以 {{Math|2}} 为底的对数，这也是[[芝加哥格式手册]]中列出的表示形式。

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

[[Category:微积分]]
[[Category:对数]]
[[Category:二进制算术]]