查看“伯努利不等式”的源代码

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[[數學]]中的'''伯努利不等式'''是說：對任意[[整數]]<math>n \ge 0</math>，和任意[[實數]]<math>x \ge -1</math>，
: <math>(1+x)^n \ge 1+nx</math>；
如果<math>n \ge 0</math>且是[[偶數]]，則不等式對任意實數<math>x</math>成立。

可以看到在<math>n=0,1</math>，或<math>x=0</math>時等號成立，而對任意正整數<math>n \ge 2</math>和任意實數<math>x \ge -1</math>，<math>x \ne 0</math>，有嚴格不等式：
: <math>(1+x)^n > 1+nx\,</math>。

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

== 證明和推廣 ==

伯努利不等式可以用[[數學歸納法]]證明：當<math>n=0, 1</math>，不等式明顯成立。假設不等式對正整數<math>n</math>，實數<math>x \ge -1</math>時成立，那麼
: <math>(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx)</math>
: <math>= 1+(n+1)x+nx^2 \ge 1+(n+1)x</math>。

下面是推廣到實數[[冪]]的版本：如果<math>x>-1</math>，那麼：

:若<math>r \le 0</math>或<math>r \ge 1</math>，有<math>(1+x)^r \ge 1 + rx</math>；

:若<math>0 \le r \le 1</math>，有<math>(1+x)^r \le 1 + rx</math>。

這不等式可以用[[導數]]比較來證明：

當<math>r=0,1</math>時，等式顯然成立。

在<math>(-1,\infty)</math>上定義<math>f(x)=(1+x)^r - (1+rx)</math>，其中<math>r \ne 0,1</math>，
對<math>x</math>求导得<math>f'(x)=r(1+x)^{r-1} - r</math>，
則<math>f'(x)=0</math>當且僅當<math>x=0</math>。分情況討論：

# <math>0<r<1</math>，則對<math>x > 0</math>，<math>f'(x)<0</math>；對<math>-1<x<0</math>，<math>f'(x)>0</math>。因此<math>f(x)</math>在<math>x=0</math>時取最大值<math>0</math>，故得<math>(1+x)^r \leq 1+rx</math>。
# <math>r<0</math>或<math>r>1</math>，則對<math>x > 0</math>，<math>f'(x)>0</math>；對<math>-1<x<0</math>，<math>f'(x)<0</math>。因此<math>f(x)</math>在<math>x=0</math>時取最小值<math>0</math>，故得<math>(1+x)^r \geq 1+rx</math>。
在這兩種情況，等號成立當且僅當<math>x=0</math>。

== 相關不等式 ==

下述不等式從另一邊估計<math>(1+x)^r</math>：對任意<math>x,\mbox{ }r>0</math>，都有

: <math>(1+x)^r < e^{rx}\,</math>。

我们知道<math>1+x<e^x</math>（<math>x>0</math>），因此这个不等式是平凡的。
[[Category:代数不等式]]