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[[Image:Lemniscate of Bernoulli.svg|thumb|400px|right|伯努利双纽线]]

在[[数学]]中, '''伯努利双纽线'''是由平面直角坐标系中的以下[[方程]]定义的[[代數曲線|平面代数曲线]] ：

:<math>(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2).</math>

曲线的形状类似于打横的[[阿拉伯数字]] 8 或者[[无穷|无穷大]]的符号 <math>\infty</math>，屬於[[双纽线]]。

关于伯努利双纽线的描述首见于1694年，[[雅各布·伯努利]]将其作为[[椭圆]]的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的[[轨迹]]。而[[卡西尼卵形线]]则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线。 

伯努利将这种曲线称为''lemniscus'', 为[[拉丁文]]中“悬挂的丝带”之意。

伯努利双纽线是[[双曲线]]关于圆心在双曲线中心的圆的[[反演]]图形。

==其它的表示公式==

伯努利双纽线在[[极坐标]]中也有简洁的表示。

:<math>r^2 = 2a^2 \cos 2\theta\,</math> 

在[[双极坐标系]]，伯努利双纽线的方程也类似：

:<math>rr' = \frac{a^2}{2}</math>
伯努利双纽线的参数方程为：

<math>\begin{cases} x=a\sqrt{2cos2\theta}cos\theta \\ y=a\sqrt{2cos2\theta}sin\theta\end{cases},\theta\in[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]\cup[\frac{3}{4}\pi,\frac{5}{4}\pi]</math>

== 曲率 ==

伯努利双纽线的[[曲率]]在直角坐标系中可以表示为:

:<math>\kappa = \pm3(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}a^{-2} \,</math>

正负号取决于描绘曲线时所取的方向。伯努利双纽线的曲率有一个有趣的性质：其每一点上的曲率的绝对值与此点到原点的距离成正比关系。


==弧长及椭圆函数==

在历史上，对伯努利双纽线之弧长的计算导致了十八世纪时对[[椭圆积分]]的研究。1800年左右，[[高斯]]开始对椭圆积分的逆：[[椭圆函数]]进行研究。他的大部分成果并没有在当时发表，只是零散地出现在《[[算术研究]]》的脚注中。

== 参见 ==
*{{le|Booth双纽线|Lemniscate of Booth}}

==参考来源==
* {{cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=4–5,121–123,145,151,184 }}

== 外部链接 ==
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*[http://republika.pl/fraktal/escapel.html Drawing M-set by escape lines method]
-->
* [http://mathworld.wolfram.com/Lemniscate.html Mathworld - Lemniscate]


[[Category:四次曲线]]