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[[数学]]中，'''体积形式'''提供了[[函数]]在不同[[坐标系]]（比如[[球坐标]]和[[圆柱坐标]]）下对[[体积]][[积分]]的一种工具。更一般地，一个体积元是[[流形]]上一个[[测度]]。

在一个[[可定向|定向]]''n''-维流形上，'''体积元'''典型地由'''体积形式'''生成，所谓体积元是一个处处非零的''n''-阶[[微分形式]]。一个流形具有体积形式[[当且仅当]]它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（[[#体积形式不变性|细节]]见下）。

有一个推广的'''伪体积形式'''概念，对无论可否定向的流形都存在。

许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有[[全纯]]体积形式的[[凯勒流形]]是[[卡拉比-丘流形]]。

== 定义 ==
流形''M''上一个体积形式是处处非0的最高阶（''n''-维流形上的''n''-形式）[[微分形式]]。

用[[线丛]]的语言来说，称最高阶外积<math>\Omega^n(M) = \Lambda^n(T^*M)</math>为'''行列式线丛'''，''n''-形式是它的[[截面 (纤维丛)|截面]]。

对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为[[定向丛]]的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” ''n''-形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。

第一次明确地引入扭曲微分形式是[[德拉姆]]。

== 定向 ==
一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。

在[[G-结构]]的语言中，一个体积形式是一个SL-结构。因为<math>\mbox{SL} \to \mbox{GL}^+</math>是[[形变收缩]]（因为<math>\mbox{GL}^+ = \mbox{SL} \times \mathbf{R}^+</math>，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个<math>\mbox{GL}^+</math>-结构，即是一个定向。

在[[线丛]]的语言中，行列式丛<math>\Omega^n(M)</math>的[[平凡 (数学)|平凡]]性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。

对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个<math>\mbox{SL}^\pm</math>-结构，因为<math>\mbox{SL}^\pm \to \mbox{GL}</math> [[同伦等价]]（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。

== 和测度的关系 ==
任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。

任何伪体积形式ω（从而任何体积形式亦然）定义了一个[[波莱尔集合]]上一个测度：

:<math>\mu_\omega(U)=\int_U\omega. \,\!</math>

注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量[[微积分]]中，写成<math>\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx</math>，将<math>dx</math>视为体积形式而不是测度，<math>\int_b^a</math>表明“在<math>[a,b]</math>上沿着定向相反的反向积分”，有时记成<math>\overline{[a,b]}</math>。

进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的[[Radon-Nikodym导数]]不必[[绝对连续]]。

==例子==
=== 李群 ===
任何[[李群]]，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果ω<sub>''e''</sub>  是<math>\bigwedge^n T_e^*G</math>中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为<math>\omega_g=L_g^*\omega_e</math>，这里''L''<sub>''g''</sub>为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为[[哈尔测度]]。

=== 辛流形 ===
任何[[辛流形]]（或更确切地为[[殆辛流形]]）有一个自然的体积形式。如果''M''是一个带有[[辛形式]]ω的2''n''-维流形，那么由辛形式非退化可知ω<sup>''n''</sup>处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。

=== 黎曼体积形式 ===

任何[[黎曼流形]]（或[[伪黎曼流形]]）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在[[局部坐标系]]下，能写成表达式：

:<math>\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math>
这里流形为''n''-维，<math>|g|</math>是流形上[[度量张量]]行列式的绝对值，<math>dx^i</math>为组成流形[[余切丛]]一组基的[[1形式]]。

这个体积形式有许多不同的记号，包括：

:<math>\omega = \mathrm{vol}_n = \epsilon = *(1) . \,\!</math>

这里∗是[[霍奇对偶]]，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。

尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在[[微分几何]]中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。

一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是[[凯勒流形|凯勒]]的那种方式定义的体积形式相等。

=== 曲面的体积形式 ===
体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入''n''-维[[欧几里得空间]]中的2-维[[曲面]]。考虑子集<math>U \subset \mathbf{R}^2</math>，以及映射函数

:<math>\phi:U\to \mathbf{R}^n</math>

定义了嵌入到<math>\mathbf{R}^n</math>中的一个曲面。映射的[[雅可比矩阵]]为

:<math>\lambda_{ij}=\frac{\partial \phi_i} {\partial u_j}</math>

指标''i''从1跑到''n''，''j''从1跑到2。''n''-维空间的欧几里得[[度量]]诱导了集合''U''上的一个度量，度量矩阵分量为：

:<math>g_{ij}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ki} \lambda_{kj}
= \sum_{k=1}^n
\frac{\partial \phi_k} {\partial u_i}
\frac{\partial \phi_k} {\partial u_j}
</math>

度量的[[行列式]]由

:<math>\det g = \left
|\frac{\partial \phi} {\partial u_1} \wedge
\frac{\partial \phi} {\partial u_2}
\right|^2 = \det (\lambda^T \lambda)</math>
给出，这里<math>\wedge</math>是[[楔积]]。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。

现在考虑''U''的一个[[坐标变换]]，由[[微分同胚]]

:<math>f \colon U\to U , \,\!</math>
 
给出。从而坐标<math>(u_1,u_2)</math>用<math>(v_1,v_2)</math>形式表示是<math>(u_1,u_2)= f(v_1,v_2)</math>。坐标变换的雅可比矩阵为：

:<math>F_{ij}= \frac{\partial f_i} {\partial v_j}</math>
在新坐标系下，我们有：

:<math>\frac{\partial \phi_i} {\partial v_j} =
\sum_{k=1}^2 
\frac{\partial \phi_i} {\partial u_k}
\frac{\partial f_k} {\partial v_j}
</math>
从而度量变换为：

:<math>\tilde{g} = F^T g F </math> 

这里  <math>\tilde{g}</math>是在''v''坐标系下的度量。行列式：

:<math>\det \tilde{g} = \det g (\det F)^2 </math>.

给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集<math>B\subset U</math>的面积由积分：

:<math>\begin{align}
 \mbox{Area}(B)
 &= \iint_B \sqrt{\det g}\; du_1 du_2 \\
 &= \iint_B \sqrt{\det g} \;\det F \;dv_1 dv_2 \\
 &= \iint_B \sqrt{\det \tilde{g}} \;dv_1 dv_2
\end{align}</math>

给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。

注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。

==体积形式不变性==
体积形式不是惟一的，它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个[[旋子]]。这是[[Radon–Nikodym定理]]的一个几何形式。

给定''M''上一个处处函数''f''，和一个体积形式<math>\omega</math>，<math>f\omega</math>也是''M''上的体积形式。相反地，给定任何两个体积形式<math>\omega, \omega'</math>，他们的比是一个处处非0函数（如果定向相同为正，定向相反为负）。

在坐标系中，他们都不过是一个处处非0函数乘以[[勒贝格测度]]，他们的比就是函数的比，这和坐标系的选取无关。本质上，这是<math>\omega'</math>关于<math>\omega</math>的[[Radon–Nikodym定理|Radon–Nikodym导数]]。

===无局部结构===
一个体积形式没有局部结构：任何两个体积形式（在相同维数的流形上）是局部[[同构]]的。

正式地说，这个结论意味着给定任何两个同维数的流形<math>M,N</math>，分别具有体积形式<math>\omega_M, \omega_N</math>，对任何点<math>m\in M, n\in N</math>，存在一个映射<math>f\colon U \to V</math>（这里<math>U</math>是<math>m</math>的一个邻域而<math>V</math>是<math>n</math>的一个邻域），使得''N''（限制在邻域<math>V</math>上）上的体积形式[[拉回]]到<math>M</math>（限制在邻域<math>U</math>）上的体积形式：<math>f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U</math>。给定维数的可微流形是局部微分同胚的；增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。

在1维情形，可以这样证明：给定<math>\mathbf{R}</math>上一个体积形式<math>\omega</math>，定义
:<math>f(x) := \int_0^x \omega</math>
那么标准[[勒贝格测度]]<math>dx</math>通过''f'': <math>\omega = f^*dx</math>拉回到<math>\omega</math>，实际上，<math>\omega = f\,dx</math>。

高维数时，给定任何一点<math>m \in M</math>，存在一个邻域局部同胚于<math>\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{n-1}</math>，我们可以进行相同的步骤。

===整体机构：体积===
[[连通空间|连通]]流形''M''上一个体积形式有一个惟一的整体不变量，即总体积（记作<math>\mu(M)</math>），在保持体积形式的映射下不变；总体积可能是无穷，比如<math>\mathbf{R}^n</math>上的勒贝格测度。对于一个不连通流形，任何连通分支的体积是不变量。

用符号表示，如果<math>f\colon M \to N</math>是流形的同胚，将<math>\omega_N</math>拉回到<math>\omega_M</math>，那么
:<math>\mu(N)=\int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M=\mu(M)</math>
从而流形具有相同的体积。

体积形式也能在[[覆盖映射]]下拉回，在此情况下将体积乘以[[纤维丛|纤维]]的[[基数]]（形式地说，在纤维上积分）。在无穷重覆盖（比如<math>\mathbf{R} \to S^1</math>），有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。

反过来，[[Jürgen K.Moser]]（[[:en:Jürgen Moser|Jürgen Moser]]）<ref>http://www.ams.org/notices/200011/mem-moser.pdf</ref>的一个定理指出，对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式<math>\omega_1</math>和<math>\omega_2</math>，存在一个流形的微分自同胚将<math>\omega_1</math>拉回到<math>\omega_2</math>，事实上存在由的[[流 (数学)|流]]形成[[同痕]]。

==另见==
* [[庞加莱度量]]给出了[[复平面]]上一个新的体积形式；
* [[测度]]。

==参考文献==
<references />
* [[Michael Spivak]], ''Calculus on Manifolds'', (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts  ISBN 0-8053-9021-9（提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍，只需要一般的微积分背景。）

[[Category:流形上的微积分]]
[[Category:微分形式]]
[[Category:行列式]]