查看“倫敦方程”的源代码

{{NoteTA|G1=物理学}}
:<small></small>
[[File:EfektMeisnera.svg|thumb|400 px|right|當超導體的溫度降至其超導臨界溫度以下時，超導體內的磁場會經由[[邁斯納效應]]被排斥出去。倫敦方程為這樣的效應提供了量化的解釋。]]
'''倫敦方程'''把[[超導體]]的電流與其裏面及周圍的[[電磁場]]聯繫起來，這兩條方程是由[[弗里茨·倫敦|弗里茨]]與[[海因茨·倫敦]]兩兄弟於1935年提出的。<ref>{{cite journal 
|last= London
|first= F.
|coauthors= H. London
|title= The Electromagnetic Equations of the Supraconductor
|journal= Proc. Roy. Soc. (London)
|volume= A149
|url= http://www.jstor.org/sici?sici=0080-4630(19350301)149%3A866%3C71%3ATEEOTS%3E2.0.CO%3B2-2
|issue= 866 
|pages= 71 
|issn= 0080-4630 |date=March 1935}}
</ref>它們可被視為超導現象最簡單的有效描述，所以幾乎所有介紹超導的現代教科書，都會把倫敦方程視為入門必修課<ref>
{{cite book 
| author = Michael Tinkham  
| title = Introduction to Superconductivity 
| publisher = McGraw-Hill 
| year = 1996
| isbn = 0-07-064878-6}}</ref><ref>{{cite book 
| author = Neil W. Ashcroft 
| coauthors = N. David Mermin 
| title = Solid State Physics 
| publisher = Saunders College 
| year = 1976 
| isbn = 0-03-083993-9 
| page = 738}}</ref><ref>{{cite book 
| author = Charles Kittel  
| title = Introduction to Solid State Physics 
| publisher =  
| year = 1999 
| isbn = 0-47-141526-X}}</ref>。這套方程組最大的成就，就在於它們成功地解釋了[[邁斯納效應]]<ref>{{cite journal 
|last= Meissner
|first= W.
|title=Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit
|coauthors= R. Ochsenfeld
|journal= Naturwissenschaften
|volume= 21
|year= 1933 
|doi= 10.1007/BF01504252 
|pages= 787 |bibcode = 1933NW.....21..787M 
|issue= 44 }}
</ref>；該效應指的是，當超導體溫度低於超導的門檻後，它會愈來愈快地排斥掉其內部所有的磁場。

==數學表述==
以可量度的場表示時，倫敦方程共有兩條：
:<math>\frac{\partial \mathbf{j}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}, \qquad \mathbf{\nabla}\times\mathbf{j}_s =-\frac{n_s e^2}{mc}\mathbf{B} \,</math>。
其中<math>{\mathbf{j}}_s</math>為超導電流，'''E'''和'''B'''分別為超導體內部的電場與磁場，<math>e\,</math>為[[基本電荷]]，<math>m\,</math>為電子質量，而<math>n_s\,</math>為一現象常數，大致上與超導電子的[[數密度]]有關<ref name="James F. Annett 2004 58">{{cite book 
| author = James F. Annett  
| title = Superconductivity, Superfluids and Condensates 
| publisher = Oxford
| year = 2004
| isbn = 0-19-850756-9
| page = 58}}</ref>。本條目全篇都使用[[高斯單位制|高斯cgs單位制]]。

另一方面，可以利用較抽象的概念——[[向量場]]'''A'''，來把上面兩條式子寫成較簡便的形式，也就獨立一條的“倫敦方程”<ref name="James F. Annett 2004 58"/><ref>{{cite book 
| author = John David Jackson  
| title = Classical Electrodynamics 
| publisher = John Wiley & Sons
| year = 1999
| isbn = 0-19-850756-9
| page = 604}}</ref>：

:<math>\mathbf{j}_s =-\frac{n_se^2}{mc}\mathbf{A}\, </math>。

上述這條方程只有一個缺點，就是它一般不具有[[規範場論|規範不變性]]，但只有在符合倫敦規範時，即向量場'''A'''的[[散度]]為零，才具有規範不變性
<ref>
{{cite book 
| author = Michael Tinkham  
| title = Introduction to Superconductivity 
| publisher = McGraw-Hill 
| year = 1996
| isbn = 0-07-064878-6
| page = 6}}</ref>。

==倫敦穿透深度==
若使用[[安培定律]]來處理第二條倫敦方程的話<ref>（因為假設了電場只會隨着時間緩慢地變動，而且[[位移電流]]項已經受到''1/c''這個因子的壓抑，因此可以視位移為零。）</ref>：
:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{j}}{c}</math>，

這樣最後會得出一條微分方程
:<math>\nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda^2}\mathbf{B}, \qquad \lambda \equiv \sqrt{\frac{m c^2}{4 \pi n_s e^2}}\,</math>。
因此從[[量綱]]可見，倫敦方程內含一特有的長度大小，<math>\lambda</math>，而在這個長度中，外來的磁場會被愈來愈快地被排斥。這個數值被稱為[[倫敦穿透深度]]。

舉例說，一超導體與[[自由空間]]之間的邊界是平的，而超導體外面的磁場大小是固定的，且方向跟''z''軸一致，與邊界平面平行。若''x''從邊界指向超導體內部，則內部的磁場解為
:<math>B_z(x) = B_0 e^{-x / \lambda}\,</math>，
從上式可以較容易地理解到倫敦穿透深度的物理意義。

==倫敦方程的基本原理==
===最初的論述===
需要注意的是，上述各方程並不能用文字推導出來
<ref name="Michael Tinkham 1996 5">{{cite book 
| author = Michael Tinkham  
| title = Introduction to Superconductivity 
| publisher = McGraw-Hill 
| year = 1996
| isbn = 0-07-064878-6
| page = 5}}</ref>，儘管如此，倫敦兄弟在表述這套理論時，還是有跟着一套憑直覺所得的邏輯。[[歐姆定律]]指出，電流與電場成正比；即使各種物質的構造不同，但是大致遵守歐姆定律的物質種類還是出奇地多。然而，超導體是不可能有這樣的線性關係，因為超導時電流都沒有電阻，而這點就是超導的定義。為了這一點，倫敦兄弟把超導電子想像成，受均勻外在電場影響的真空電子。根據[[洛倫茲力|洛倫茲力方程式]]：
:<math>\mathbf{F}=e\mathbf{E}+ \frac{e}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}</math>
這些電子應感受到一股均勻的力，並因此均勻地加速。第一條倫敦方程所描述的正是如此。

要得出第二條方程，先取第一條倫敦方程的[[旋度]]，然後使用[[法拉第电磁感应定律|法拉第定律]]：
:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>，
最後可得
:<math> \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{j}_s + \frac{n_s e^2}{m c} \mathbf{B} \right) = 0\,</math>。
就現時所得的方程而言，方程同時允許不變解及指數衰變解。倫敦兄弟從邁斯納效應中察覺到，非零的不變解是不具有物理意義的，因此他們假定不單是上式的時間導數為零，還有括號內的式子也必須是零。由此得出第二條倫敦方程。

===正則動量論述===
要解釋倫敦方程，還有其他方法<ref>{{cite book 
| author = John David Jackson  
| title = Classical Electrodynamics 
| publisher = John Wiley & Sons
| year = 1999
| pages = 603–604
| isbn = 0-19-850756-9}}</ref><ref>{{cite book 
| author = Michael Tinkham  
| title = Introduction to Superconductivity 
| publisher = McGraw-Hill 
| year = 1996
| pages = 5–6
| isbn = 0-07-064878-6}}</ref>。電流密度的表示式如下：
:<math>\mathbf{j}_s = n_s e \mathbf{v}</math>。
要把上式由[[古典力學|古典]]描述轉為[[量子力學]]的描述，就必須把'''j'''及'''v'''的數值，改為對應[[算符]]的[[期望值]]。速度算符的表示式如下
:<math>\mathbf{v} = \frac{1}{m} \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right) </math>。
把具有規範不變性的動態動量算符，除以粒子質量''m''，就能得到速度算符<ref>{{cite book 
| author = L. D. Landau and E. M. Lifshitz
| title = Quantum Mechanics- Non-relativistic Theory
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 1977
| pages = 455–458
| isbn = 0-7506-3539-8}}</ref>。然後可以將速度算符代入電流密度的表示式。然而，[[BCS理論|超導的微觀理論]]中有一個重要的假設，就是一系統的超導態是這個系統的[[基態]]，而根據布洛赫的一條定理<ref name="Michael Tinkham 1996 5"/>，這樣一個態的[[正則座標|正則動量]]'''p'''為零。因此得
:<math>\mathbf{j}_s =-\frac{n_se_s^2}{mc}\mathbf{A}</math>，
也就是上面用向量場'''A'''所表示的倫敦方程。

==註釋及參考資料==
{{reflist|2}}

[[Category:超导]]
[[Category:电磁学]]
[[Category:方程]]