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{{copyedit|time=2015-09-13T17:37:38+00:00}}
'''光線轉換矩陣分析'''(又稱'''ABCD矩陣分析''')，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的[[向量]]相乘之後，可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中，用以追蹤通過[[粒子加速器]]中磁鐵裝置的粒子，詳情請見[[电子光学]]。

以下介紹的技術使用了[[近軸逼近法]]，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。<ref>An exact method for tracing meridional rays is available [http://spie.org/Documents/ETOP/1991/389_1.pdf here].</ref>

== 定義 ==

光線追蹤技術以兩個平面為參考面, 分別為輸入平面與輸出平面, 這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ<sub>1</sub>，從距離光軸 ''x''<sub>1</sub> 的入射面進入系統，並在距光軸的''x''<sub>2</sub>的輸出面呈θ<sub>2</sub>射出，而''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。

這些參數可表成下列關係式:

:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}{x_1 \choose \theta_1}, </math>

當

:<math>A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad B = {x_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0},</math>

且

:<math>C = {\theta_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad D = {\theta_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0}.</math>

這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根据折射定律与几何关系，可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。

:<math>\det(\mathbf{M}) = AD - BC = {   n_1  \over  n_2 }.  </math>

因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M等於1，相似的技術可以應用於電路學上，見[[二埠網路]]。

== 範例 ==

若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:

:<math> \mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>,

其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量)，此矩陣有下列關係:

:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \mathbf{S}{x_1 \choose \theta_1} </math>,

兩光線各別的參數可表示如下:

:<math> \begin{matrix} x_2 & = & x_1 + d\theta_1 \\
\theta_2 & = & \theta_1 \end{matrix} </math>

另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:

:<math> \mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>,

其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以交互相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:

:<math>\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{pmatrix} </math>.

注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。

:<math> \mathbf{SL} =
\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1-\frac{d}{f} & d \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>.

因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同[[折射率]]的介質，或者是面鏡的反射等等。

== 光線轉化矩陣表格 ==
'''簡易的光學元素'''

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|- style="background-color: #AAFFCC"
! 成分元素
! 矩陣
! 註解
|- 
| 傳輸在具有常數折射率的空間
| align="center" |<math>\begin{pmatrix} 1 & d\\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''d''為傳輸距離<br/>
|- 
| 折射在平坦的表面
| align="center" | <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} </math>
| ''n''<sub>1</sub> 為入射時的環境折射率<br/>
''n''<sub>2</sub> 為折射後的環境折射率
|- 
| 折射在曲面
| align="center" | <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R \cdot n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} </math>
| ''R'' 為曲率半徑，當 ''R'' > 0 為凸面 <br/>
''n''<sub>1</sub> 為入射時的環境折射率<br/>
''n''<sub>2</sub> 為折射後的環境折射率
|- 
| 從平坦面鏡反射
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
|
|- 
| 從曲面鏡反射
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''R'' 為曲率半徑，當 R > 0 為凹面，可用於近軸近似法
|- 
| 薄透鏡
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''f'' 為透鏡的焦距， 當 ''f'' > 0 為凸透鏡
唯有在焦距遠大於透鏡厚度時成立
|-
| 厚透鏡
| align="center" | <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_2-n_1}{R_2n_1} & \frac{n_2}{n_1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R_1n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}</math>
| ''n''<sub>1</sub> 為透鏡外的折射率<br/>
''n''<sub>2</sub> 為透鏡內的折射率 <br/>
''R''<sub>1</sub> 為第一表面的曲率半徑 <br/>
''R''<sub>2</sub> 為第二表面的曲率半徑<br/>
''t'' 為透鏡的中心厚度
|- 
| 單直角稜鏡
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} k & \frac{d}{nk} \\ 0 & \frac{1}{k} \end{pmatrix} </math>
| ''k'' = (cos<math>\psi</math>/cos<math>\phi</math>) 是[[beam expander|beam expansion]]的因素, 當<math>\phi</math> 為入射角, <math>\psi</math> 為折射角, ''d'' 為稜鏡的路徑長, ''n'' 為稜鏡的折射率。 這個舉證應用在orthogonal beam exit。
|}

== 共振穩定性 ==

RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具100%反射率、取率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2，彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:

:<math>\mathbf{M} =\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{pmatrix} </math>.

光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器)，意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的”eigenrays”，入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得：

:<math> \mathbf{M}{x_1 \choose \theta_1} = {x_2 \choose \theta_2} = \lambda {x_1 \choose \theta_1} </math>.

此為一本徵方程式：

:<math> \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] {x_1 \choose \theta_1} = 0 </math>,

其中I為一2x2單位矩陣。
我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：

:<math>\operatorname{det}  \left[  \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] = 0  </math>,

可導出以下特徵方程式：

:<math> \lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \lambda + \operatorname{det}( \mathbf{M}) = 0 </math>,

其中

:<math>  \operatorname{tr} ( \mathbf{M} )   =    A + D   =   2 - { d \over f }  </math> 

是RTM的軌[[跡]]，且

:<math>\operatorname{det}(\mathbf{M}) = AD - BC  = 1 </math> 

是RTM行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:

:<math> \lambda^2 - 2g \lambda + 1 = 0  </math>,

其中

:<math> g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f } </math>

是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

:<math> \lambda_{\pm}  =  g \pm \sqrt{g^2 - 1} \, </math>

現在，考慮一個光線通過系統N次:

:<math> {x_N \choose \theta_N} = \lambda^N {x_1 \choose \theta_1} </math>.

如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1，則兩本徵值均為實數，又因為λ+λ- = 1 ，因此其中一個的絕對值必須大於1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:

:<math> \lambda_{\pm} = g \pm i \sqrt{1 - g^2} = \cos(\phi) \pm i \sin(\phi) =  e^{\pm i \phi} </math>,

以g=cos(φ)表示。

假設 <math> g^2 < 1 </math> 且 <math> r_+ </math>, <math> r_- </math>是<math> \lambda_+ </math>, <math> \lambda_- </math>的本徵向量，此兩向量橫跨所有向量空間，因為他們是正交
因此輸入的向量可以被表示成:

:<math> c_+ r_+ + c_- r_-  </math>,

<math> c_+ </math> and <math> c_- </math>為某常數

再通過N個波導後，輸出則為:

:<math> \mathbf{M}^N (c_+ r_+ + c_- r_-) = \lambda_+^N c_+ r_+ + \lambda_-^N c_- r_- = e^{i N \phi} c_+ r_+ + e^{- i N \phi} c_- r_- </math>,

這代表一個週期函數。

== 高斯光束的光線轉化矩陣 ==

光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為λ0，曲率半徑為R，光點大小w，折射率n，我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:

:<math> \frac{1}{q} = \frac{1}{R} - \frac{i\lambda_0}{\pi n w^2} </math>.

此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:

:<math> {q_2 \choose 1} = k \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} {q_1 \choose 1} </math>,

其中k為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為1，利用矩陣乘法:
:<math> q_2 = k(Aq_1 + B) \,</math>

且

:<math> 1 =   k(Cq_1 + D) \,  </math>

由上式除以下式可得:

:<math> q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}</math>,

此方程式常以倒數形式表示:

:<math>  { 1 \over q_2 }    = {  C + D/q_1  \over  A + B/q_1 } .  </math>

=== 範例：:Free space ===
假設一光束通過一距離為d的空間，光線轉化矩陣為:
<math>\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}</math>.
因此
: <math>q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1+d}{1} = q_1+d</math>.
這表示，通過一空間會增加半徑d。

=== 範例：薄透鏡 ===
假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡，光線轉化矩陣為:
: <math>\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}</math>.
因此
: <math>q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1}{-\frac{q_1}{f}+1} </math>
: <math>\frac{1}{q_2} = \frac{-\frac{q_1}{f}+1}{q_1} =\frac{1}{q_1}-\frac{1}{f}</math>.
再次強調，只有q的實部會被影響，曲率半徑會減少1/f。

== 另見 ==
* [[传递矩阵法]]
* [[幾何光學]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
{{refbegin}}
*:{{cite book | title = Fundamentals of Photonics | author = [[Bahaa E. A. Saleh]] and Malvin Carl Teich | publisher = John Wiley & Sons | location = New York |  year = 1991 }} Section 1.4, pp.&nbsp;26 – 36.

*:{{cite book
 |title= Introduction to matrix methods in optics
 |last1= Gerrard |first1= Anthony
 |last2= Burch |first2 = James M.
 |year=1994
 |publisher=Courier Dover
 |location=
 |isbn= 9780486680446
 |pages=
 |url=http://books.google.de/books?id=naUSNojPwOgC
}}

*:{{cite book | title = Tunable Laser Optics | author = [[F. J. Duarte]] | publisher = Elsevier-Academic | location = New York |  year = 2003 }} Chapter 6.

{{refend}}

== 外部連結 ==
* [http://physics.tamuk.edu/~suson/html/4323/thick.html#Matrix Thick lenses (Matrix methods)]{{dead link|date=2017年11月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://www.photonics.byu.edu/ABCD_Matrix_tut.phtml ABCD Matrices Tutorial]  Provides an example for a system matrix of an entire system.
* [http://www.photonics.byu.edu/ABCD_Calc.phtml ABCD Calculator]  An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
* [http://play.google.com/store/apps/details?id=com.dmt195.simple.abcd.optical.designer Simple Optical Designer (Android App)] An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.
[[Category:幾何光學]]
[[Category:加速器物理学]]