查看“克莱因-戈尔登方程”的源代码

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|G1=物理学
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{{现代物理学}}

'''克莱因-戈尔登方程式'''（Klein-Gordon equation）是[[相对论量子力学]]和[[量子场论]]中的最基本方程式，它是[[薛定谔方程式]]的[[狭义相对论]]形式，用于描述[[自旋]]为零的[[粒子]]。克莱因-戈尔登方程式是由[[瑞典]][[理论物理]]学家[[奥斯卡·克莱因]]和[[德国]]人沃尔特·戈尔登于[[二十世纪]]二三十年代分别独立推导得出的。

== 陳述 ==
克莱因-戈尔登方程為

:<math> \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0</math>。

很多時候會用[[自然單位]]（[[光速|''c'']]=[[約化普朗克常數|''ħ'']]=1）寫成

:<math> - \partial_t^2 \psi + \nabla^2 \psi = m^2 \psi</math>

由於[[平面波]]為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定：

:<math>
\psi = e^{-i\omega t + i k\cdot x } = e^{i k_\mu x^\mu}
</math>

遵從狹義相對論的能量動量關係式

:<math> -p_\mu p^\mu = E^2 - P^2 = \omega^2 - k^2 = - k_\mu k^\mu = m^2\,</math>

跟薛定諤方式不同，每一個''k''在此都對應着兩個<math>\omega</math>，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程描述到整個相對論形式的[[波函數]]。若方程在時間流逝下不變，則其形式為

:<math>
\left[ \nabla^2 - \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \right] \psi(\mathbf{r}) = 0
</math>。

== 相对论量子力学下的形式推导 ==
自由粒子的薛定谔方程式是非相对论量子力学的最基本方程式：
:<math>
\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi
</math>
其中<math>\mathbf{p} = -i \hbar \mathbf{\nabla}</math>是[[动量]]算符。

薛定谔方程式并非相对论[[协变]]的，意味着它不满足[[爱因斯坦]]的[[狭义相对论]]。

利用狭义相对论中四维动量的[[不变性]]导出的相对论动量能量关系，相对论能量
:<math>E = \sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4}</math>

替换薛定谔方程式左边自由粒子的动能<math>\frac{\mathbf{p}^2}{2m}</math>，

并最终得到它的协变形式
:<math>
(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0,
</math>

其中<math> \mu = \frac{mc}{\hbar} \,</math>

[[达朗贝尔算符]]<math> \Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\,</math>

从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程式是一个量子力学的'''波方程'''。

== 量子场论下的形式推导 ==
场论中，对于[[自旋]]为零的场（[[标量]]场），[[拉格朗日量]]被写成
:<math>L=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2</math>

这里依照量子场论的习惯选取了[[自然单位]]，将光速<math>c</math>和普朗克常数<math>\hbar</math>都取作1。

代入[[欧拉-拉格朗日方程]]<math>  \frac{\partial L}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}\phi)} = 0, </math>可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程式只是一个经典场的'''场方程式'''。

== 自由粒子解 ==
相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程式这样的波方程仍然具有形式上的波包解：
:<math>
\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}
</math>
其中<math>
-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.
</math>

从克莱因-戈尔登方程式得出的能量[[本征值]]为
:<math>E =\pm\sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4}</math>
因而克莱因-戈尔登方程式的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的.[[英国]]物理学家[[保罗·狄拉克]]为了确保概率密度具有物理意义建立了[[狄拉克方程]]，但这个方程仍然没有避免出现负能量。从那时起物理学家们逐渐意识到负能量的出现实际上意味着[[反粒子]]的存在。
==行波解==
克莱因-戈尔登方程有行波解<ref>83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer</ref>
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|File:Klein Gordon equation traveling wave plot4.gif|Klein Gordon equation traveling wave plot4
|File:Klein Gordon equation traveling wave plot5.gif|Klein Gordon equation traveling wave plot5
|File:Klein Gordon equation traveling wave plot6.gif|Klein Gordon equation traveling wave plot6
}}

== 参见 ==
* [[狄拉克方程式]]
* [[量子场论]]

== 参考资料 ==
{{reflist}}

==參考文獻==
{{refbegin}}
* Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
* Greiner, W. (1990). Relativistic Quantum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67457-8.
{{refend}}

{{Quantum mechanics topics}}
{{量子场论}}

[[Category:量子力学|K]]
[[Category:量子场论|K]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:相对论]]