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在[[量子力学]]中，'''克莱布希－高登系数'''（'''Clebsch–Gordan coefficients'''，简称 '''CG 系数'''，又称'''向量耦合系数'''等）是两个[[角动量]]耦合时，它们的[[本征函数]]的组合系数。

从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在[[紧李群]]的表示论中，它研究的是两个[[不可约表示]]的[[张量积]]如何分解成不可约表示的[[直和]]。

克莱布希－高登系数因[[阿尔弗雷德·克莱布什]]和[[保罗·哥尔丹]]而得名。

== 记号 ==
在本文中，在不引起混淆的情况下，省略[[算符]]上的[[脱字符|尖号]]。用[[粗体]]来表示[[向量]]（算符），用非粗体表示[[标量]]（算符）。

== 角动量耦合的一般理论 ==
本文的讨论从角动量的一般量子理论出发，以角动量算符的对易关系为基础，不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示<ref name=qmv4>{{cite book|title=量子力学卷 I （第四版）|author=曾谨言|publisher=科学出版社|isbn=9787030181398|origyear=2011|chapter=10}}</ref>。相关内容可参见[[角动量算符对易关系]]一文。
给定了 {{mvar|j}} 之后，本征函数组
:<math>|jm\rangle,\quad m=-j,-j+1,\dots,j-1,j</math>
张开成一个 2{{mvar|j}}+1 维的函数空间。

现在给定两个量子数 {{mvar|j}}<sub>1</sub> 和 {{mvar|j}}<sub>2</sub>，则其本征函数组[[线性生成空间|张开的空间]]分别有 2{{mvar|j}}<sub>1</sub>+1 维
与 2{{mvar|j}}<sub>2</sub>+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积
:<math>V=V_1\otimes V_2=\operatorname{span}(\{|j_1m_1\rangle|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots,j_1-1,j_1\})\otimes
\operatorname{span}(\{|j_2m_2\rangle|m_2=-j_2,-j_2+1,\dots,j_2-1,j_2\})</math>

显然有
:<math>V=\operatorname{span}(\{|j_1m_1\rangle|\otimes|j_2m_2\rangle|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots,j_1-1,j_1;
m_2=-j_2,-j_2+1,\dots,j_2-1,j_2\})</math>

下面为简便起见，定义新的记号
:<math>|j_1m_1j_2m_2\rangle=|j_1m_1\rangle\otimes|j_2m_2\rangle</math>

一般地，若 {{mvar|f}}, {{mvar|g}} 分别是这两个空间里的算符，则在积空间上可以定义下列算符：
:<math>f\otimes g: V_1\otimes V_2\rightarrow V_1\otimes V_2, u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes(gv)</math>

另一方面，定义在这两个空间上的算符可以自然地嵌入到积空间中，只需取
:<math>f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g</math>

其中 1 表示恒等操作（算符）。

在这样的定义下，两个角动量算符的的耦合表达为：
:<math>j_\alpha=j_{1,\alpha}+j_{2,\alpha}=j_{1,\alpha}\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha},\quad \alpha\in\{x,y,z\}</math>
:<math>\mathbf j=\mathbf j_1+\mathbf j_2=\mathbf j_1\otimes 1+1\otimes \mathbf j_2,\quad \alpha\in\{x,y,z\}</math>

容易验证这样定义的 {{mvar|'''j'''}} 满足角动量的基本对易关系，因此是一个角动量算符，称为总角动量算符。

根据角动量的一般理论，总角动量算符也有自己的本征函数组，它可以用积空间里的基来表示
:<math>|jm\rangle=\sum_{j_1,m_1,j_2,m_2}\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle|j_1m_1j_2m_2\rangle</math>

这里的线性组合系数
:<math>\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle</math>
就被称为克莱布希－高登系数。在正交归一性的要求下，克莱布希－高登系数仍然具有相位不确定性。本文中取 Condon-Shortle 惯例，使所有克莱布希－高登系数为实数。

== 耦合表象中量子数的取值 ==
:<math>j_z=j_{1,z}+j_{2,z}</math>
上式两边取矩阵元，就得到：
:<math>\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle=\delta_{m_1+m_2,m}\langle j_1m_1j_2m_2|jm_1+m_2\rangle</math>

故在克莱布希－高登系数的表达式中可以省略 {{mvar|m}} 的值。

下面考虑耦合表象中量子数 {{mvar|j}} 的取值，根据上式，有
:<math>j_\max=m_\max=m_{1,\max}+m_{2,\max}=j_1+j_2</math>

故 {{mvar|j}} 最大的可能取值是 {{mvar|j}}<sub>1</sub> 与 {{mvar|j}}<sub>2</sub> 的和，且它只出现一次。此时
:<math>m=-j_\max,-j_\max+1,\dots,j_\max-1,j_\max</math>

考虑下一个可能的 {{mvar|j}}，显然第二大的 {{mvar|m}}={{mvar|m}}<sub>max</sub>-1，它可以通过两种方式组合而来，
:<math>m_1=j_1-1,m_2=j_2 \text{ or } m_1=j_1,m_2=j_2-1</math>

它们张开成一个二维的空间，但 {{mvar|j}}={{mvar|j}}<sub>max</sub> 的本征函数组里面已经出现过 {{mvar|m}}={{mvar|j}}<sub>max</sub>-1，这里占用了一维，因此下一个可能的 {{mvar|j}} 只能是 {{mvar|j}}<sub>max</sub>-1，它同样只出现一次。

这样分析下去，就会知道 {{mvar|j}} 的所有可能取值只能是
:<math>j_\min,j_\min+1,\dots,j_\max-1,j_\max</math>

其中每个 {{mvar|j}} 恰好出现一次，且
:<math>j_\max-j_\min\in\mathbb Z</math>

但积空间的维数应该等于两个空间维数之积，即
:<math>\sum_{n=j_\min}^{j_\max}(2n+1)=(2j_1+1)(2j_2+1)</math>

故有
:<math>j_\min=|j_1-j_2|</math>

== 一个例子 ==
以 <math>j_1=j_2=\frac{1}{2}</math> 为例<ref>{{cite web|url=http://www.weylmann.com/clebsch.pdf|title=EFFICIENT COMPUTATION OF CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS|author=William O. Straub}}</ref>。

对任意一个算符 <math>f</math>，本节中的矩阵元表示
:<math>\langle j_1m_1j_2m_2|f|j_1m_1j_2m_2\rangle</math>
的值。

:<math>
j_z=\frac12\left(\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}\right)
=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}</math>

:<math>
j_+=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}=j_-^\dagger</math>

:<math>
\mathbf j^2=\frac12[j_+,j_-]_++j_z^2=\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}</math>

计算最后一个矩阵的本征值和本征向量，得到
:<math>\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\operatorname{diag}\{0,2,2,2\}</math>

于是可知克莱布希－高登系数为：
{|
|----- align="center"
| m=1 ||  j=
|-----
| <br /><br /><br /><math>m_1, m_2 =</math>
|
{| border="1"
|-----
|
 || '''1'''
|----- align="center"
| '''1/2,&nbsp;1/2''' || <math>1\!\,</math>
|}
|}

{|
|----- align="center"
| m=0 || j=
|-----
| <br /><br /><br />m<sub>1</sub>,&nbsp;m<sub>2</sub>=
|
{| border="1"
|-----
|
 || '''1''' || '''0'''
|----- align="center"
| '''1/2,&nbsp;-1/2''' || <math>\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,</math>
| <math>\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,</math>
|----- align="center"
| '''-1/2,&nbsp;1/2''' || <math>\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,</math>
| <math>-\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,</math>
|}
|}

{|
|----- align="center"
| m=-1 || j=
|-----
| <br /><br /><br />m<sub>1</sub>,&nbsp;m<sub>2</sub>=
|
{| border="1"
|-----
|
 || '''1'''
|----- align="center"
| '''-1/2,&nbsp;-1/2''' || <math>1\!\,</math>
|}
|}

从上面的例子可以看到，对于一般的情况，用矩阵来求克莱布希－高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算，更多的情况是直接查表。

== Racah 表达式 ==
Racah 用代数方法得出了克莱布希－高登系数的有限级数表达式<ref name=Racah>{{cite journal|journal=Phys. Rev.|volume=62|page=438|author=Giulio Racah|title=Theory of Complex Spectra. II|doi=10.1103/PhysRev.62.438}}</ref>。

:<math>\begin{array}{cl}&\langle j_1m_1j_2m_2|j_3m_3\rangle\\
=&\delta_{m_3,m_1+m_2}\left[(2j_3+1)\frac{(j_1+j_2-j_3)!(j_2+j_3-j_1)!(j_3+j_1-j_2)!}{(j_1+j_2+j_3+1)!}
\times\prod_{i=1,2,3}(j_i+m_i)!(j_i-m_i)!\right]^{1/2}\\
\times&\sum_\nu[(-1)^\nu\nu!(j_1+j_2-j_3-\nu)!(j_1-m_1-\nu)!(j_2+m_2-\nu)!(j_3-j_1-m_2+\nu)!(j_3-j_2+m_1+\nu)!]^{-1}\end{array}
</math>

其中， {{mvar|ν}} 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。

== 对称性 ==
克莱布希－高登系数有下列的对称性<ref name=qmv4 />
:<math>
\begin{align}
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle
& = (-1)^{j_1+j_2-J}
\langle j_1\, {-m_1} j_2 \, {-m_2}|J \, {-M}\rangle \\
& = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle j_1 m_1 J \, {-M}| j_2\,{-m_2} \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle J \, {-M} j_2 m_2| j_1 \, {-m_1} \rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle J M  j_1 \, {-m_1} | j_2 m_2 \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle j_2 \, {-m_2} J M | j_1 m_1 \rangle
\end{align}
</math>
== 与维格纳 3-j 符号的关系 ==
克莱布希－高登系数与[[维格纳 3-j 符号|维格纳 3-{{mvar|j}} 符号]]有下列关系<ref name=dlmf >{{dlmf|id=34 |title=3j,6j,9j Symbols|first=Leonard C.|last= Maximon}}</ref>：
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.
</math>

后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分<ref name=dlmf />：
:<math>
\begin{align}
& {} \quad \int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\
&  =
\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt]
  0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\end{align}
</math>

由球谐函数的正交归一性，上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。

== 参考 ==
<references />

==参见==
*[[角动量算符]]及其[[角动量算符对易关系|一般理论]]

==外部链接==
*[http://pdg.lbl.gov/2011/reviews/rpp2011-rev-clebsch-gordan-coefs.pdf 克莱布希－高登系数表]

[[Category:李群表示论]]
[[Category:量子力学]]