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[[数学]]上，特别是在[[群论]]中，[[群]]的元素可以[[分割]]成'''共轭类'''（Conjugacy class）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性，而且研究非交换群的共轭类可以看出很多关于它们的结构的重要特征。对于[[交换群]]，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个[[单元素集合]]。

在同一个共轭类上取常值的[[函数]]称为[[类函数]]。

== 定义 ==

设''G''为群。对于''G''中'''共轭'''的两个元素''a''和''b''，必存在''G''中一个元素''g''，满足
:''gag''<sup>−1</sup> = ''b''。

（在[[线性代数]]中，這叫做[[相似矩阵|相似變換]]。）

很容易证明共轭是[[等价关系]]，因此将''G''分割为[[等价类]]。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类Cl(''a'')和Cl(''b'')相等当且仅当''a''和''b''共轭，否则[[不交集|不相交]]。）包含元素''a''属于''G''的等价类是
:Cl(''a'') = { ''gag''<sup>−1</sup>: ''g'' ∈ ''G'' }
并称为''a''的'''共轭类'''。''G''的'''类数'''是共轭类的个数。

== 例子 ==
[[对称群]]''S<sub>3</sub>''，由所有3个元素的6个[[置换]]组成，拥有三个共轭类：
* 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
* 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
* 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群''S<sub>4</sub>''，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：
* 恒等
* 对换
* 三阶轮换
* 四阶轮换
* 双对换

参看[[八面体的对称性#立方体的等距映射|立方体的恰当转动]]，它可以用体对角线的枚举刻划。

* 在<math>n \times n</math>[[矩陣]]，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

== 属性 ==

* 单位元总是自成一类，也就是说Cl(''e'') = {''e''}

* 若''G''[[交换群|可交换]]，则''gag''<sup>−1</sup> = ''a''对于所有''a''和''g''属于''G''成立；所以Cl(''a'') = {''a''}对于''a''属于''G''成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

* 若''G''的两个元素''a''和''b''属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的[[階 (群論)|階]]。更一般地讲，每个关于''a''的命题可以转换成关于''b''=''gag''<sup>−1</sup>的一个命题，因为映射φ(''x'') = ''gxg''<sup>−1</sup>是一个''G''的[[群同构|自同构]]。

* ''G''的一个元素''a''位于''G''的[[中心 (群論)|中心]]Z(''G'')当且仅当其共轭类只有一个元素，''a''本身。更一般地讲，若C<sub>''G''</sub>(''a'')代表''G''中的''a''的''[[中心化子]]''，也即，有所有满足''ga'' = ''ag''的元素''g''组成的[[子群]]，则[[陪集|指数]][''G'' : C<sub>''G''</sub>(''a'')]等于''a''的共轭类中元素的个数。

== 共轭类方程 ==

若''G''为有限群，则上节的内容，加上[[拉格朗日定理 (群论)|拉格朗日定理]]，可以得出如下结论：每个共轭类的元素个数[[整除]]''G''的[[階 (群論)|階]]。

进一步的有，对于任何群''G''，可以通过从''G''的每个元素个数大于1的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集''S'' = {''x''<sub>''i''</sub>}。则''G''是Z(''G'')和''S''的元素的共轭类Cl(''x''<sub>''i''</sub>)的[[不交并集]]。由此可以写出重要的'''类方程'''：
: |''G''| = |''Z''(''G'')| + ∑ <sub>''i''</sub> [G:H <sub>''i''</sub> ]
其中求和取遍对于每个''S''中的''x''<sub>''i''</sub>的''H''<sub>''i''</sub> = C<sub>''G''</sub>(''x''<sub>''i''</sub>)。注意[''G'' : ''H''<sub>''i''</sub>]是共轭类''i''的元素个数，一个|''G''|的大于1的[[除数]]。如果|''G''|的除数已知，则该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

=== 例子 ===

考虑一个有限[[p-群]]''G''（也即，次数为''p''<sup>''n''</sup>的群，其中''p''是一个[[质数]]而''n'' > 0）。我们将证明：每个有限''p''-群有非[[平凡 (数学)|平凡]]的中心。

因为''G''的任意子群的次数必须整除''G''的次数，所以每个''H''<sub>''i''</sub>也是某个幂''p''<sup>( ''k''<sub>''i''</sub> )</sup>。但是类方程要求|''G''| = ''p''<sup>''n''</sup> = |Z(''G'')| + ∑<sub>''i''</sub> (''p''<sup>( ''k''<sub>''i''</sub> )</sup>)。因此我们可以看出''p''必须整除|Z(''G'')|，所以|Z(''G'')| > 1。

== 子群和一般子集的共轭 ==

更一般的来讲，给定任意''G''的[[子集]]''S''（''S''不必是子群），我们定义一个''G''的子集''T''为''S''的共轭，当且仅当存在某个''g''属于''G''满足''T'' = ''gSg''<sup>−1</sup>。我们可以定义'''Cl(''S'')'''为所有共轭于''S''的子集''T''的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集''S''，N(''S'')（''S''的[[正规化子]]）的[[陪集|指数]]等于Cl(''S'')的次数：

:|Cl(''S'')| = [''G'' : N(''S'')]

这是因为，如果''g''和''h''属于''G''，则''gSg''<sup>−1</sup> = ''hSh''<sup>−1</sup>当且仅当''gh''<sup>&nbsp;−1</sup>属于N(''S'')，换句话说，当且仅当''g''和''h''属于N(''S'')的同一个[[陪集]]。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（''S'' = {''a''}的特殊情况）。

上述定理在讨论''G''的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是[[群同构|同构]]的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

== 作为群作用的共轭类 ==

如果对于任意两个''G''中的元素''g''和''x''定义
:''g.x'' = ''gxg''<sup>−1</sup>
则我们有了一个''G''在''G''上的[[群作用]]。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在''G''的所有子群或者所有子集的集合上的''G''的群作用如下
:''g.S'' = ''gSg''<sup>−1</sup>。

== 参看 ==
* [[群]]
* [[群作用]]
* [[中心化子和正规化子]]

== 参考 ==
* Herstein, I.N. ''Abstract Algebra'', Wiley, ISBN 0-471-36879-2
* Dummit, David and Richard Foote. ''Abstract Algebra'', Wiley, ISBN 0-471-43334-9
* [[Serge Lang|Lang, Serge]]. ''Algebra'', Springer, ISBN 0-387-95385-X

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群论|G]]