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在[[数学]]中，一个'''凯勒流形'''（{{lang|en|Kähler manifold}}）是具有满足一个[[可积性条件]]的[[酉群|酉]]结构（一个[[G-结构|U(''n'')-结构]]）的流形。特别地，它是一个[[黎曼流形]]
<ref>Gizem Karaali"[http://pages.pomona.edu/~gk014747/research/ricciflow.pdf Kahler-Ricci Flow On Kahler Manifolds]"</ref>、[[复流形]]以及[[辛流形]]，这三个结构两两相容。

这个三位一体结构对应于[[酉群#三选二性质|将酉群表示为一个交集]]：
:<math>U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n).</math>

若没有任何可积性条件，类似的概念是一个[[殆埃尔米特流形]]。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是[[殆凯勒流形]]；如果複结构是可积的（但辛结构不要求），则为[[埃尔米特流形]]。

凯勒流形以数学家[[埃里希·凯勒]]命名，在[[代数几何]]中占有重要的地位：它们是複[[代数簇]]的一个[[微分几何]]推广。

==定义==

带有一个埃尔米特度量的流形是[[殆埃尔米特流形]]；凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形，它有[[埃尔米特度量#凯勒流形|多种等价的表述]]。

凯勒流形可以多种方法刻画：它们通常定义了具有一个附加结构的复流形（或具有附加结构的辛流形，或具有附加结构的黎曼流形）。

可以将这三个结构之间的联系总结为 <math>h=g + i\omega</math>，这里 ''h'' 是埃尔米特形式，''g'' 是[[黎曼度量]]，''i'' 是[[殆复结构]]，而 <math>\omega</math> 是[[殆辛结构]]。

复流形 ''M'' 上一个凯勒度量是[[切丛]] <math> TM </math> 上一个[[埃尔米特度量]]，满足一个有多种等价刻画的条件（最几何的方式是由度量诱导的[[平行移动]]在切空间上给出复线性映射）。利用局部坐标它规定如下：如果
:<math>h = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \otimes d \bar z^j</math>
是埃尔米特度量，则伴随的凯勒形式定义为（在差一个因子 ''i''/2 的意义下）
:<math>\omega = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \wedge d \bar z^j </math>
是[[闭形式|闭的]]：即 dω = 0。如果 ''M'' 带有这样一个度量则称之为凯勒流形。

凯勒流形上的度量局部满足
:<math>g_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2 K}{\partial z^i \partial \bar{z}^{j}}</math>
对某个函数 ''K''，称为凯勒势。[[卡拉比]]率先考虑了凯勒流形上的微分几何问题，特别是典则度量（包括凯勒-爱因斯坦，常数量曲率凯勒度量和[[极值度量]]）的存在性与唯一性问题。[[丘成桐]]于七十年代取得了突破性进展，近年来此问题取得了数学界极其广泛的关注，属于[[微分几何]]中的中心问题之一。

一个凯勒流形，伴随的凯勒形式和度量叫做'''凯勒-爱因斯坦'''（{{lang|en|Kähler-Einstein}}，有时也叫爱因斯坦-凯勒）的当且仅当其[[里奇张量]]与度量张量成比例，<math>Ric \; g = \lambda g</math>，对某个常数 λ。这个名称是为了纪念[[爱因斯坦]]关于[[宇宙常数]]的考虑。更多细节见[[爱因斯坦流形]]一文。

==例子==

#复[[欧几里得空间]] '''C'''<sup>''n''</sup> 带着标准埃尔米特度量是一个凯勒流形。
#环面 '''C'''<sup>''n''</sup>/Λ（Λ 为一完全[[格 (群)|格]]）由 '''C'''<sup>''n''</sup> 上继承一个平坦度量，从而是一个[[紧致]]凯勒流形。
#[[黎曼曲面]]上每个黎曼度量是凯勒的，因为 ''ω'' 闭的条件在（实）2 维是平凡的。
#[[复射影空间]] '''CP'''<sup>''n''</sup> 有一个齐性凯勒度量，[[富比尼–施图迪度量]]。向量空间 '''C'''<sup>''n''&nbsp;+&nbsp;1</sup> 上一个埃尔米特形式定义了 ''GL''(''n''&nbsp;+&nbsp;1,''C'') 中一个[[酉群|酉]]子群；一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(''n''+1) 作用下的不变性决定；由初等线性代数，任何两个富比尼–施图迪度量在 '''CP'''<sup>''n''</sup> 的一个投影自同态下是等距的，故无需言明通常就说富比尼–施图迪度量。
#一个凯勒流形的[[复子流形|複流形]]上的诱导度量是凯勒的。特别地，任何[[施坦流形]]（嵌入 '''C'''<sup>''n''</sup>）或[[代数簇]]（嵌入 '''CP'''<sup>''n''</sup>）是凯勒型的。这对它们的分析理论是基本的。
#单位复球体 '''B'''<sup>''n''</sup> 有一个凯勒度量叫做[[伯格曼度量]]，具有常全纯截面曲率。
#每个[[K3曲面]]是凯勒的（得自[[萧荫堂]]的一个定理）。

凯勒流形的一个重要子类是[[卡拉比–丘流形]]。

==相关条目==
*[[殆复流形]]
*[[超凯勒流形]]（[[:en:Hyper-Kähler manifold|Hyper-Kähler manifold]]）
*[[凯勒–爱因斯坦度量]]（[[:en:Kähler–Einstein metric|Kähler–Einstein metric]]）
*[[Quaternion-Kähler manifold]]
*[[复泊松流形]]
*[[卡拉比–丘流形]]

==注释==
<references/>

==参考文献==
*[[André Weil]], ''Introduction à l'étude des variétés kählériennes'' (1958) 
*Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. ''Infinite Dimensional Kähler Manifolds'' (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8. 
*Andrei Moroianu, ''Lectures on Kähler Geometry'' (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.

{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Kahler manifold}}

[[Category:微分几何]]
[[Category:黎曼几何]]
[[Category:代数几何]]
[[Category:复流形]]
[[Category:辛几何]]
[[Category:流形上的结构]]