查看“分裂域”的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
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在[[抽象代数]]中，一个[[系数]][[域 (數學)|域]]为<math>\mathbb{K}</math>的[[多项式]]<math>P(x)\,</math>的'''分裂域'''（'''根域'''）是<math>\mathbb{K}</math>的“最小”的一个扩域<math>\mathbb{L}</math>，使得在其中<math>P\,</math>可以被分解为一次因式<math>x-r_i\,</math>的乘积，其中的<math>r_i\,</math>是<math>\mathbb{L}</math>中元素。一个<math>\mathbb{K}</math>上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是[[同构]]的：在同构意义上，<math>\mathbb{K}</math>上的多项式的分裂域是唯一的。

==术语与定义==
称一个[[系数]][[域]]为<math>\mathbb{K}</math>的多项式  <math>P(x)\,</math>在<math>\mathbb{K}</math>的某个[[域扩张|扩域]]<math>\mathbb{L}</math>中'''分裂'''，[[当且仅当]]这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：
: <math>P = \sum_{i=0}^k a_i x^i = a_k\prod_{i=1}^k (x- r_i)</math>
其中的<math>a_i \in \mathbb{K}</math>，<math>r_i \in \mathbb{L}</math>。换句话来说，<math>P\,</math>的[[根 (数学)|根]]都在<math>\mathbb{L}</math>中。

使得<math>P\,</math>在其中分裂的[[域扩张|扩域]]<math>\mathbb{L}</math>有很多，譬如对于某个使得<math>P\,</math>分裂的的<math>\mathbb{L}</math>，它任意的扩域<math>\mathbb{L}'</math>也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域<math>\mathbb{E}</math>：
#在<math>\mathbb{E}</math>里，<math>P\,</math>，可以分解为一次因式的乘积；
#在<math>\mathbb{E}</math>的任何真子域（不等于自身）里，<math>P\,</math>都无法如此分解。这样的扩域称为<math>P\,</math>在<math>\mathbb{K}</math>上的'''分裂域'''。

==例子==

如果<math>\mathbb{K}</math>是[[有理数|有理数域]]<math>\mathbb{Q}</math>，多项式为  

<math>P(x)=x^3-2\,</math>

那么其分裂域<math>\mathbb{L}</math>可以是在<math>\mathbb{Q}</math>中添加三次[[单位根]]<math> \omega\,</math>和2的[[立方根]]而得到的扩域：<math>\mathbb{Q}(\omega , \sqrt[3]{2} )</math>。因为这时<math>P\,</math>可以写作：
: <math>P = (x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})(x-\omega^2 \sqrt[3]{2})</math>  

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：
*多项式<math>x^2+1\,</math>在[[实数域]]''' R'''上的分裂域是[[复数域]]''' C'''。
*多项式<math>x^2+1\,</math>在[[准有限域]]''' GF'''<sub>7</sub>上的分裂域是'''GF'''<sub>7<sup>2</sup></sub>.

多项式<math>x^2-1\,</math>在[[准有限域]]''' GF'''<sub>7</sub>上的分裂域是'''GF'''<sub>7</sub>，因为在其上<math>x^2-1=(x+1)(x-1)\,</math>已经分解完毕。

==性质==
给定[[多项式]]<math>P(x)\,</math>，在 <math>\mathbb{K}</math>上的分裂域<math>\mathbb{E}</math>，假设在<math>\mathbb{E}</math>里<math>P\,</math>，分解为
:<math>P = a\prod_{i=1}^k (x - r_i)</math>
那么<math>\mathbb{E} = \mathbb{K}(r_1, r_2, \cdots , r_k)</math>。

对于域<math>\mathbb{K}</math>的一个[[代数闭域]]扩域<math>\mathbb{A}</math>和<math>\mathbb{K}</math>上的一个多项式<math>P\,</math>，存在<math>P\,</math>在<math>\mathbb{K}</math>上的唯一的一个分裂域<math>\mathbb{L}</math>，使得<math>\mathbb{K} \subset \mathbb{L} \subset \mathbb{A}</math>。 

对于<math>\mathbb{K}</math>的一个[[可分扩张]]<math>\mathbb{K}'</math>，<math>\mathbb{K}'</math>的'''[[伽罗瓦闭包]]'''是一个分裂域，也是<math>\mathbb{K}</math>的包含<math>\mathbb{K}'</math>的一个“最小”的[[伽罗瓦扩张]]。这样的一个伽罗瓦闭包包含了<math>\mathbb{K}'</math>中任意元素<math>a\,</math>，在<math>\mathbb{K}</math>上的[[极小多项式]]在<math>\mathbb{K}</math>上的分裂域。

== 参见 ==

* [[代数扩张]]
* [[正规扩张]]
* [[极小多项式]]
* [[可分扩张]]

==参考来源==

* Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999).  ''Abstract Algebra'' (2nd ed.).  New York:  John Wiley & Sons, Inc.  ISBN 0-471-36857-1. [http://books.google.com.tw/books?id=5pwOAAAACAAJ&dq=isbn:0471368571&lr=&as_drrb_is=q&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=&as_brr=0&ei=jRknSu6JHZP-lQT4krzfCg]
* David A. Cox. ''Galois Theory'' (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [http://books.google.com.tw/books?id=3u4RF8SrRooC&printsec=frontcover&dq=Galois+Theory+inauthor:David+inauthor:A+inauthor:Cox&lr=&as_drrb_is=q&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=&as_brr=0&ei=MBknSqH-AZqGkASbm830Cg]

==外部链接==
*[http://math.ntnu.edu.tw/~li/galois-html/ 李華介，簡介Galois理論]

{{ModernAlgebra}}
[[Category:域论]]

[[de:Körpererweiterung#Zerfällungskörper]]