查看“分配律”的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代数]]中，'''分配律'''是[[二元运算]]的一个性质，它是[[基本代数]]中的分配律的推广。

== 定義 ==

設<math>*</math>及<math>+</math>是定义在[[集合]]<math>S</math>上的兩個[[二元運算]]，我們說

* <math>*</math>对于<math>+</math>满足左分配律，如果：
:: <math>\forall x,y,z \in S, x * (y+z) = (x*y)+(x*z)</math>;

* <math>*</math>对于<math>+</math>满足右分配律，如果：
:: <math>\forall x,y,z \in S, (y+z)*x = (y*x)+(z*x)</math>;

* 如果<math>*</math>对于<math>+</math>同時满足左分配律和右分配律，那么我們說<math>*</math>对于<math>+</math>满足分配律。

如果<math>*</math>满足[[交换律]]，那么以上三条语句在邏輯上是[[等价]]的。

== 例子 ==

* 除了实数以外，[[自然数]]、[[复数]]和[[基数]]中的乘法都对加法满足分配律。
* 然而，[[序数]]的乘法对加法只满足左分配律，不满足右分配律。
* [[矩阵乘法]]对[[矩阵加法]]满足分配律（但不满足交换律）。
* [[集合]]的[[并集]]对[[交集]]满足分配律，交集对并集也满足分配律。另外，交集对[[对称差]]也满足分配律。
* [[逻辑析取]]对[[逻辑合取]]满足分配律，逻辑合取对逻辑析取也满足分配律。另外，逻辑合取对[[逻辑异或]]也满足分配律。
* 对于[[实数]]（或任何[[全序集合]]），最大值对最小值满足分配律，反之亦然：
:: <math>\operatorname{max}(a,\operatorname{min}(b,c)) = \operatorname{min}(\operatorname{max}(a,b),\operatorname{max}(a,c))</math>
:: <math>\operatorname{min}(a,\operatorname{max}(b,c)) = \operatorname{max}(\operatorname{min}(a,b),\operatorname{min}(a,c))</math>。
* 对于[[整数]]，[[最大公因子]]对[[最小公倍数]]满足分配律，反之亦然：
:: <math>\operatorname{gcd}(a,\operatorname{lcm}(b,c)) = \operatorname{lcm}(\operatorname{gcd}(a,b),\operatorname{gcd}(a,c))</math>

:: <math>\operatorname{lcm}(a,\operatorname{gcd}(b,c)) = \operatorname{gcd}(\operatorname{lcm}(a,b),\operatorname{lcm}(a,c))</math>。
* 对于[[实数]]，加法对最大值满足分配律，对最小值也满足分配律：
:: <math>a + \operatorname{max}(b,c) = \operatorname{max}(a+b,a+c)</math>

:: <math> a + \operatorname{min}(b,c) = \operatorname{min}(a+b,a+c)</math>。

== 环的分配律 ==
分配律在[[环_(代数)|环]]和[[分配格]]中很常见。

一个环有两个二元运算（通常称为<math>+</math>和<math>*</math>），其中一个要求是<math>*</math>必须对<math>+</math>满足分配律。

[[格 (数学)|格]]是另外一种具有两个二元运算<math>\wedge</math>和<math>\vee</math>的[[代数结构]]。如果这两个运算中的任何一个（例如<math>\wedge</math>）对另外一个（<math>\vee</math>）满足分配律，则<math>\vee</math>对<math>\wedge</math>也一定满足分配律，这时这个格便称为分配格。

== 參見 ==
* [[交換律]]
* [[結合律]]
*[[遞移關係]]
{{二元運算的性質}}

[[Category:初等代数|F]]