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{{orphan|time=2018-02-17T16:11:58+00:00}}
[[控制理論]]中的'''分離原理'''（separation principle），之前曾稱為'''估測及控制分離原理'''（principle of separation of estimation and control）是指若一些假設條件成立的前提下，一隨機系統的最佳回授控制器設計，可以先設計最佳的[[狀態觀測器]]，觀測系統狀態，再將狀態反饋到決定性的最佳控制器中，即可求解。因此問題可以分離為二個部份，有助於控制器的設計。

<!--As an example of such a principle,-->已證明若已針對一[[线性时不变系统理论|线性时不变系統]]設計了[[有界輸入有界輸出穩定性|BIBO穩定]]的[[狀態觀測器]]，以及穩定的狀態[[反馈]]，將此狀態估測器及控制器合併之後的系統也是穩定的。這就是此原理的例子之一。不過針對非線性系統，此原理不一定會成立。另外一個例子是將[[LQG控制]]的求解分解為[[卡尔曼滤波]]以及最佳的[[LQR控制器]]。若是量子系統的控制，也可以應用分離原理。

== 確定性线性时不变系統控制理論的證明 ==

考慮一個確定性LTI系統：

<math>
\begin{align}
\dot{x}(t) & = A x(t) + B u(t) \\
y(t) & = C x(t)
\end{align}
</math>

其中
:<math>u(t)</math>為輸入信號
:<math>y(t)</math>為輸出信號
:<math>x(t)</math>為系統內部狀態

可以設計以下的估測器

:<math>\dot{\hat{x}} = ( A - L C ) \hat{x} + B u + L y \, </math>

及狀態回授

:<math>u(t) = - K \hat{x} \, .</math>

定義誤差''e'':

:<math>e = x - \hat{x} \, .</math>

則

:<math>\dot{e} = (A - L C) e \, </math>

:<math>u(t) = - K ( x - e ) \, .</math>

可以將閉回路的動態表示為

: <math>\begin{bmatrix}
\dot{x} \\
\dot{e} \\
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
A - B K & BK \\
0 & A - L C \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
e \\
\end{bmatrix}.</math>

因為這是[[三角矩阵]]，其[[特征值和特征向量|特征值]]即為''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''BK''的特征值以及 ''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''LC''的特征值<ref>在math.stackexchange [http://math.stackexchange.com/questions/21454/prove-that-the-eigenvalues-of-a-block-matrix-are-the-combined-eigenvalues-of-its question.]中有其證明。</ref>。因此估測器及回授的穩定性彼此[[線性無關]]。

==參考資料==
{{reflist}}

* Brezinski, Claude. ''Computational Aspects of Linear Control (Numerical Methods and Algorithms)''. Springer, 2002.

[[Category:控制理论]]
[[Category:隨機控制]]