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[[数学]]上，一个[[微分流形]]''M''的'''切丛(tangent bundle)''' ''T''(''M'')是一个由''M''各點上[[切空間]]組成的[[向量丛]]，其總空間是各切空间的[[不交并集]]：
:<math>T(M) = \coprod_{x\in M}T_x(M).</math>

總空間''T''(''M'')每个元素都是一个二元组(''x'',''v'')，其中''v''是在点''x''的切空间''T''<sub>''x''</sub>(''M'')內的一枚向量。
切丛有自然的2''n''维[[微分流形]]结构如下：

設：<math>\pi\colon T(M) \to M\,</math>
為自然的投影映射，将(''x'',''v'')映射到基点''x''；
若''M''是个''n''维流形，''U''是''x''的一个足夠小的邻域，
φ :''U''→'''R'''<sup>''n''</sup>是一个局部[[坐标卡]]，
''V''是''U''在''T''(''M'')的前象''V''（<math>V=\pi^{-1}(U)\,</math>)），则存有一个映射ψ : ''V''  → '''R'''<sup>''n''</sup> × '''R'''<sup>''n''</sup>：ψ(''x'', ''v'') = (φ(''x''), dφ(''v'')).
这个映射定义了T(M)的一个坐标图。

背景知识见[[微分流形]]条目。

==拓扑和光滑结构==

切丛带有一个自然的[[拓扑]]（不是[[不交并拓扑]]（disjoint union topology））以及[[微分结构]]，使得它自己成为一个流形。''T''(''M'')的维数是''M''的两倍。

每个''n''维向量空间的切空间是一个''n''维向量空间。那么作为一个集合，''T''(''M'')和''M'' × '''R'''<sup>''n''</sup>同构。但作为一个流形，''T''(''M'')并不总是和积流形''M'' × '''R'''<sup>''n''</sup>[[微分同胚]]。这在切丛是''平凡''的时候是真的。就象流形局部由[[欧几里得空间]]构造一样，切丛局部构造在''M'' × '''R'''<sup>''n''</sup>上。

若''M''是一个''n''维流形，则它有一个[[图册 (拓扑学)|图册]]（''U''<sub>α</sub>, φ<sub>α</sub>）其中''U''<sub>α</sub>是''M''中开集而
:<math>\phi_\alpha\colon U_\alpha \to \mathbb R^n</math>
是一个[[同胚]]。''U''上的这些局部坐标对于每个''x'' ∈ ''U''给出了''T''<sub>''x''</sub>''M''和'''R'''<sup>''n''</sup>之间的一个同构。我们然后可以定义一个映射
:<math>\tilde\phi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha) \to \mathbb R^{2n}</math>
这是通过下式完成的
:<math>\tilde\phi_\alpha(x, v^i\partial_i) = (\phi_\alpha(x), v^1, \cdots, v^n)</math>
我们用这些映射来定义''T''(''M'')上的拓扑和光滑结构。''T''(''M'')的子集''A''是开的当且仅当对于每个α，<math>\tilde\phi_\alpha(A\cap U_\alpha)</math>在'''R'''<sup>2''n''</sup>中是开的。这样这些映射是''T''(''M'')的开子集和'''R'''<sup>2''n''</sup>的同胚，所以可以作为''T''(''M'')的光滑结构的坐标图。坐标图定义域的交集<math>\pi^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)</math>上的变换函数用相关的坐标变换的[[雅可比矩阵]]引出，所以是'''R'''<sup>2''n''</sup>的开子集间的光滑映射。

切丛是称为[[向量丛]]（自己是[[纤维丛]]的特例）的更一般的构造的特例。直接一点的说，''n''维流形''M''的切丛可以定义为一个''M''上的''n''阶向量丛，其变换函数由相应的坐标变换的雅可比矩阵给出。

==向量场==
[[向量场]]是切丛的截面。

==局部向量场==
局部向量场是切丛的局部截面。

==向量场的层==
所有局部向量场的集合构成一个[[层]]（sheaf）。

==参见==
* [[余切丛]]
* [[测地线]]
* [[李导数]]
* [[微分形式]]

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/TangentBundle.html MathWorld: Tangent Bundle]
* [http://planetmath.org/encyclopedia/TangentBundle.html PlanetMath: Tangent Bundle]

==参考==
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-4267-2
* [[Ralph Abraham]] and Jarrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, ''Gravitation'', (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.

[[Category:微分几何|Q]]
[[Category:向量丛|Q]]