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{{NoteTA|G1=Math}}
'''利威尔-奇维塔联络'''（'''{{lang|en|Levi-Civita connection}}'''），在[[黎曼几何]]中， 是[[切丛]]上的无[[聯絡的撓率|挠率]][[联络 (数学)|联络]]，它保持[[黎曼度量]](或[[伪黎曼流形|伪黎曼度量]])不变。因[[意大利]]数学家[[图利奥·列维-奇维塔]]而得名。
 
[[黎曼几何基本定理]]表明存在唯一联络满足这些属性。

在[[黎曼流形]]和[[伪黎曼流形]]的理论中，[[共变导数]]一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为[[克里斯托费尔符号]]。

==形式化定义==

设 <math>(M,g)</math> 为一[[黎曼流形]]（或[[伪黎曼流形]]），则[[仿射联络]] <math>\nabla</math> 在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。

#无[[聯絡的撓率|挠率]]：也就是，对任何向量场 <math>X, Y</math> 我们有 <math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math>，其中 <math>[X,Y]</math> 是[[向量场]] <math>X</math> 和 <math>Y</math> 的[[李导数|李括号]]。

#与度量相容：也就是,对任何向量场 <math>X, Y, Z</math>我们有 <math>Xg(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)</math>，其中 <math>Xg(Y,Z)</math> 表示函数 <math>g(Y,Z)</math> 沿向量场 <math>X</math> 的导数。

==沿曲线的导数==

列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用 <math>D</math> 表示。

给定一个在 <math>(M,g)</math> 上的光滑[[曲线]] <math>\gamma</math>和<math>\gamma</math> 上的一个[[向量场]] <math>V</math>，其导数定义如下
:<math>\frac{D}{dt}V=\nabla_{\dot\gamma(t)}V.</math>

==参见条目==
* [[埃雷斯曼联络]]
* [[嘉当联络]]
* [[仿射联络]]
* [[曲率形式]]

==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/Levi-CivitaConnection.html MathWorld: Levi-Civita Connection]
*[https://web.archive.org/web/20041026085619/http://planetmath.org/encyclopedia/LeviCivitaConnection.html PlanetMath: Levi-Civita Connection]

[[Category:黎曼几何|L]]
[[Category:联络|L]]