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{{Distinguish|刘维尔定理 (复分析)|刘维尔定理 (哈密顿力学)}}

'''刘维尔定理'''揭示了具有[[初等函数|初等]][[不定积分|原函数]]的初等函数的本质特征. 最早由[[约瑟夫·刘维尔]]于十九世纪三四十年代提出, 经后人推广到一般的微分域上
<ref>
Lützen, J. (1990). Integration in Finite Terms. In Joseph Liouville 1809–1882 (pp. 351-422). Springer New York.</ref>,
并被进一步推广运用在[[常微分方程|常微分方程组]]初等[[首次积分]]的研究上.
<ref>
Prelle, M. J., & Singer, M. F. (1983). Elementary first integrals of differential equations. Transactions of the American Mathematical Society, 279(1), 215-229.
</ref>
<ref>
Singer, Michael F. "Liouvillian first integrals of differential equations." Transactions of the American Mathematical Society 333.2 (1992): 673-688.
</ref>

初等函数的原函数并不总是初等函数, 例如 <math>e^{-x^2}</math> 的原函数是[[误差函数]], 无法用初等函数表达出来. 其它常见的例子还有 <math> \sin(x)/x </math>, <math> x^x </math>, <math> 1/\ln(x) </math> 等.

刘维尔定理指出, 一个初等函数如果有初等的原函数, 那么一定能写成同一个[[微分域]]的函数加上有限项该域上函数的对数的线性组合, 否则即表明不存在初等的原函数.

== 定义 ==

参见[[微分域]]

一个[[域 (數學)|域]] <math>F</math> (元素是函数) 及相应的运算 <math>\delta</math> (对函数的导数) 构成的代数结构 <math>(F, \delta)</math> 称为 ''微分域'' 若对于 <math>\forall f,g \in F</math> 有

:<math>\delta(f + g) = \delta(f) + \delta(g),\quad \delta(fg) = \delta(f)g + f\delta(g)</math>


由上式可以得到通常导数的一些性质

:<math>\delta(g^n) = n g^{n-1} \delta(g)</math>
:<math>\delta( \frac{f}{g}) = \frac{\delta(f)}{g} + f\delta(\frac{1}{g}) = \frac{\delta(f)}{g} - \frac{f}{g^2} \delta(g)</math>


设 <math>(F, \delta)</math> 为某个微分域, 称

:<math>\mathrm{Con}(F, \delta) = \{f \in F | \delta f = 0\}</math>

为该微分域的常数域.


设 <math>h \in K</math>, ''K'' 是 ''F'' 的微分域扩张 <math>K = F(h)</math>, <math>h</math> 称为在 <math>F</math> 上基本初等, 若以下三种情况任一成立:

* <math>h</math> 是 <math>F</math> 的代数元素. 即存在 <math>F</math> 中的多项式 <math>p(t) (\in F[t])</math>, 使得 <math>p(h)=0</math>. 注意此处多项式 <math>p(t)</math> 的系数本身也是函数, 也即 <math>p(t)=0</math> 隐式地决定了函数 <math>t(x) = h(x)</math> (选定某个[[解析分支]]). 称这种情况为代数扩张.

* <math>h</math> 是 <math>F</math> 上的[[超越函数|超越]]元素, 且 <math>\delta h \in F</math>. 可以用对数函数来类比, 对于 <math>f \in F</math> 有 <math>\delta(\ln(f)) = \delta(f)/f \in F</math>. 称这种情况为对数扩张. <math>h</math> 是 <math>F</math> 上的对数.

* <math>h</math> 是 <math>F</math> 上的超越元素, 且 <math>\delta h / h \in F</math>. 可以用指数函数来类比, 对于 <math>f \in F</math> 有 <math>\delta(\exp(f)) / \exp(f) = \delta(f) \in F</math>. 称这种情况为指数扩张. <math>h</math> 是 <math>F</math> 上的指数.


微分域的 ''初等扩张'' 是指接连进行如上的扩张得到的微分域 <math>F(h_1, ..., h_n)</math>, 其中 <math>h_j</math> 在 <math>F(h_1, ..., h_{j-1})</math> 上基本初等.


一个函数 <math>f(x)</math> 称为[[初等函数]] 若它在微分域 <math>(\mathbb{C}(x), \mathrm{d} / \mathrm{d}x)</math> (有理函数加普通导数) 的某个初等扩张中.

== 基本定理 ==

(刘维尔第一定理(Theorem of Liouville-first statement))

设 <math>F</math> 为微分域, <math>K</math> 为 <math>F</math> 的初等扩张, 且 <math>\mathrm{Con}(K, \delta) = \mathrm{Con}(F, \delta)</math>. 对于 <math>f \in F</math>, 若存在 <math>g \in K</math>, 使得 <math>\delta g = f</math>, 则
<ref>Rosenlicht, M. (1972). Integration in finite terms. American Mathematical Monthly, 963-972.</ref>
<ref>
Risch, Robert H. "The problem of integration in finite terms." Transactions of the American Mathematical Society (1969): 167-189.
</ref>

::<math>g = c_1 \ln(u_1)+ \dotsb + c_n \ln(u_n) + v.</math>

其中 <math>c_1, ..., c_n \in \mathrm{Con}(F, \delta)</math>, <math>u_1, ..., u_n, v \in F</math>


(刘维尔第二定理、强刘维尔定理(Theorem of Liouville-second statement, Strong Liouville theorem))

设 <math>F</math> 为微分域, <math>B = \mathrm{Con}(F, \delta)</math>, 若 <math>g</math> 在 <math>F</math> 上初等, 且满足  <math>\delta g = f \in F</math>, 则

:<math>f = c_1\frac{\delta u_1}{u_1}+\dotsb + c_n\frac{\delta u_n}{u_n} + \delta v.</math>

其中 <math>c_1, ..., c_n \in \bar{B}</math>, <math>v \in F</math>, <math>u_1, ..., u_n, v \in \bar{B}F</math>, <math>\bar{B}</math> 是 <math>B</math> 的[[代数闭域]].
每个 <math>F</math> 上 <math>\bar{B}F</math> 的[[自同构]]交换求和的顺序.


注: 对于通常所说的[[初等函数]], <math>\mathrm{Con}(K, \delta) = \mathrm{Con}(F, \delta) = \mathbb{C}</math>. 若限定常数为实数 <math>\mathrm{Con}(F, \delta) = \mathbb{R}</math>, 则会使得许多通常初等的原函数"不初等". 例如下面的例子 <math>1/(x^2+1)</math>, 其原函数包含[[虚数]].

== 例子 ==

例如[[复数域]]上的[[有理函数]]域 <math>\mathbb{C}(x)</math> 与通常的[[导数]]即构成了一个微分域 <math>(\mathbb{C}(x), \mathrm{d}/\mathrm{d}x)</math> (有理函数的导数仍是有理函数), 该微分域的常数集即是复数集<math>\mathbb{C}</math>.

函数 <math> 1/x \in \mathbb{C}(x) </math> 的原函数 <math> \ln(x)+C </math> 不属于微分域 <math>(\mathbb{C}(x), \mathrm{d}/\mathrm{d}x)</math>, 但具有如定理所述的对数形式, (注意 <math> x, C \in \mathbb{C}(x), 1 \in \mathbb{C} </math>).


类似的, <math>1/(x^2+1) \in \mathbb{C}(x) </math>, 其原函数[[三角函数#反三角函数|反正切函数]]可以表达成对数的形式

:<math> \arctan(x) + C = - \frac{i}{2} \ln \frac{1+ix}{1-ix} + C </math>

显然也有 <math>C, \frac{1+ix}{1-ix} \in \mathbb{C}(x), - \frac{i}{2} \in \mathbb{C}</math>


下面考虑 <math> f(x) = 1/(x \ln(x)) </math> 的原函数. 显然这不属于 <math> \mathbb{C}(x) </math> ( <math> \ln(x) </math> 是 <math> \mathbb{C}(x) </math> 上的[[超越函数]]). 把 <math> \ln(x) </math> 添加到 <math> \mathbb{C}(x) </math>, 形成更大的微分域 <math> (F, \mathrm{d}/\mathrm{d}x), F = \mathbb{C}(x)(\ln(x)) </math> (于是 <math> f \in F </math> ). <math>f(x)</math> 的一个原函数是 <math> \ln(\ln(x)) </math>. 于是我们再次看到, 使用包含 <math>f(x)</math> 的微分域 <math>F</math> 里的函数的对数, 表达出了 <math>f(x)</math> 的原函数.


事实上, Risch 1969 年的论文表明, 对于任意复杂的初等函数, 总可以找到适当的包含 <math>f(x)</math> 的微分域 <math>F</math>, 以及从 <math>\mathbb{C}(x)</math> 开始的初等域扩张塔 <math>\mathbb{C}(x,x_1,...,x_n) = F</math>. 并在此扩张塔的基础上, 基于刘维尔定理找到其初等原函数, 或证明不存在这样的初等原函数 (参见 [[Risch算法]]).
<ref>
Risch, Robert H. "The problem of integration in finite terms." Transactions of the American Mathematical Society (1969): 167-189.
</ref>

== 定理的应用 ==

设想我们想知道形如 <math>f(x) e^{g(x)}, f(x),g(x) \in \mathbb{C}(x)</math> 的函数是否有初等原函数. 由刘维尔定理可以得到, 这等价于判断是否存在 <math>a(x) \in \mathbb{C}(x) </math> 使得

:<math> f(x) = a'(x) + a(x) g'(x).</math>

若存在这样的 <math>a(x)</math>, 那么其原函数即为 <math>a(x) e^{g(x)}</math>.


例如对于 <math>e^{x^2}</math>, (即<math>f(x)=1, g(x)=x^2</math>), 应有 

:<math> 1 = a'(x) + 2x \cdot a(x).</math>

如果存在这样的 <math>a(x)</math> , 那么一定可以作[[部分分式展开]]:

:<math> a(x) = p(x) + \sum_{j=1}^{q}\sum_{k=1}^{e_{j}} \frac{A_{jk}}{(x - r_j)^k} </math>

其中 <math>p(x) \in \mathbb{C}[x]</math> 是 <math>\mathbb{C}</math> 上的多项式, <math>r_j \in \mathbb{C}</math> 是 <math>a(x)</math> 分母多项式的根, 系数 <math>A_{jk} \in \mathbb{C}</math> 被唯一确定.
代入前式即可证明这样的 <math>a(x)</math> 不存在 (因为 <math>2x \cdot a(x)</math> 会增加多项式的次数, 故对照左端项应有 <math>p(x)=0</math>, 而对 <math> 1/(x - r_j)^k </math> 求导会增加分母的次数, 对照左端项得到这一部分也应该是 0, 这样就得到矛盾 1=0). 从而函数 <math>e^{x^2}</math> 不存在初等原函数.


借助完全类似的方法, 我们可以证明 <math>e^{x}/x</math> (对应 <math> 1/x = a' + a </math>), 以及 <math>\sin(x)/x</math> 也不存在初等原函数. 更进一步, 对 <math>e^{x}/x</math> 换元可以得到 <math>e^{e^x}</math> 或者 <math>1 / \ln(x)</math>, 于是得到后两个函数也是不存在初等原函数的.
<ref>
Rosenlicht, M. (1972). Integration in finite terms. American Mathematical Monthly, 963-972.
</ref>

== 相关条目 ==
*[[Risch算法]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:域论]]
[[Category:微分代数]]
[[Category:微分方程]]
[[Category:代数定理]]