查看“初等矩阵”的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{线性代数}}
[[线性代数]]中，'''初等矩阵'''（又稱為'''基本矩陣'''<ref>{{Cite web|url=http://terms.naer.edu.tw/detail/1852845/|title=elementary matrix - 基本矩陣|accessdate=2014-04-23|publisher=[[國家教育研究院]]|5=|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140913082005/http://terms.naer.edu.tw/detail/1852845/|archivedate=2014-09-13}}</ref>）是一个与[[单位矩阵]]只有微小区别的[[矩阵]]。具体来说，一个''n''阶单位矩阵''E''经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为''n''阶初等矩阵。<ref>{{cite book | author = 蓝以中 | title = 高等代数简明教程（上册） | edition = 第二版 | publisher = 北京大学出版社 | isbn = 978-7-301-05370-6 | pages = 123}}</ref>

==操作==
初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。

;两行（列）互换：
: <math>R_i \leftrightarrow R_j</math>

;把某行（列）乘以一非零常数：
: <math>kR_i \rightarrow R_i,\ </math>其中<math> k \neq 0</math>

;把第''i''行（列）加上第''j''行（列）的''k''倍：
: <math>R_i + kR_j \rightarrow R_i</math>

初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一[[单位矩阵]]的结果。以下只讨论对某行的变换，列变换可以类推。

===行互换===
这一变换''T<sub>ij</sub>''，将一单位矩阵的第''i''行的所有元素与第''j''行互换。

:<math>
T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad </math>

====性质====
:*[[逆矩阵]]即自身：<math>T_{ij}^{-1} = T_{ij}</math>。
:*因为单位矩阵的[[行列式]]为1，故<math>|T_{ij}|=-1</math>。与其他相同大小的方阵''A''亦有以下性质：<math>|T_{ij}A|=-|A|</math>。

===把某行乘以一非零常数===
这一变换''T<sub>i</sub>''（''m''），将第''i''行的所有元素乘以一非零常数''m''。

:<math>
T_i (m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad </math>

====性质====
:*逆矩阵为<math>T_{i}(m)^{-1} = T_{i}(\frac{1}{m})</math>。
:*此矩阵及其逆矩阵均为[[对角矩阵]]。
:*其行列式<math>|T_{i}(m)|=m</math>。故对于一等大方阵''A''有<math>|T_{i}(m)A|=m|A|</math>。

===把第''i''行加上第''j''行的''m''倍===
这一变换''T<sub>ij</sub>''（''m''），将第''i''行加上第''j''行的''m''倍。
:<math>
T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}
</math>

====性质====
:*逆矩阵具有性质<math>T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)</math>。
:*此矩阵及其逆矩阵均为[[三角矩阵]]。
:*<math>|T_{ij}(m)|=1</math>。故对于一等大方阵''A''有：<math>|T_{ij}(m)A| = |A|</math>。

== 应用 ==
=== 在解线性方程组中的应用 ===

初等行变换不影响[[线性方程组]]的解，也可用于[[高斯消元法]]，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的[[核 (矩阵)|核]]（故不改变解集），但改变了矩阵的[[像 (數學)|像]]。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

=== 用于求解一个矩阵的逆矩阵 ===
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和[[伴随矩阵]]求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。<ref>{{cite book|publisher=同济大学出版社|author=戴立辉|title=线性代数|isbn=9787560843063}}</ref>

==另见==
*[[高斯消元法]]
*[[线性方程组]]
*[[矩阵]]

== 注释 ==
{{reflist}}

==参考==
* {{Citation
 | last = Axler
 | first = Sheldon Jay
 | date = 1997
 | title = Linear Algebra Done Right
 | publisher = Springer-Verlag
 | edition = 2nd
 | isbn = 0387982590
}}
* {{Citation
 | last = Lay
 | first = David C.
 | date = August 22, 2005
 | title = Linear Algebra and Its Applications
 | publisher = Addison Wesley
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-0321287137
}}
* {{Citation
 |last=Meyer 
 |first=Carl D. 
 |date=February 15, 2001 
 |title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra 
 |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) 
 |isbn=978-0898714548 
 |url=http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html 
 |deadurl=yes 
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20010301161440/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html 
 |archivedate=三月 1, 2001 
}}
* {{Citation
 | last = Poole
 | first = David
 | date = 2006
 | title = Linear Algebra: A Modern Introduction
 | publisher = Brooks/Cole
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-534-99845-3
}}
* {{Citation
 | last = Anton
 | first = Howard
 | date = 2005
 | title = Elementary Linear Algebra (Applications Version)
 | publisher = Wiley International
 | edition = 9th
}}
* {{Citation
 | last = Leon
 | first = Steven J.
 | date = 2006
 | title = Linear Algebra With Applications
 | publisher = Pearson Prentice Hall
 | edition = 7th
}}
[[Category:线性代数]]
[[Category:矩阵]]