查看“到达域”的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Codomain2.SVG|thumb|250px|<math>f</math>是一個將所有[[定義域]]<math>X</math>(紅色區塊)中的點<math>x \in X</math>對應到點<math>f(x) \in Y</math>的函數。蒐集所有點<math>f(x)</math>的集合(黃色區塊)為函數<math>f</math>的值域，<math>Y</math>(藍色區塊)為<math>f</math>的對應域。]]

'''對應域'''（{{Lang-en|codomain}}），或稱為'''陪-{}-域'''、'''上-{}-域'''、'''目標集合'''（{{Lang|en|target set}}）。

在數學領域中，一個[[函數]]的對應域指的是至少包含所有此函數的輸出值的一個集合。在函數符號<math>f\colon X \rightarrow Y</math>中，<math>Y</math>是函數<math>f</math>的對應域。

<math>f</math>的[[值域]]是<math>Y</math>的一個[[子集]]，若<math>f</math>是一個[[滿射]]函數（{{Lang|en|surjective function}}），則<math>f</math>的對應域和值域相等，反之則代表有<math>y \in Y</math>不存在於<math>f</math>的值域中，使得方程式<math>f(x)=y</math>無解。

== 例 ==
===例一===
定義三個函數：
:<math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2</math>
:<math>g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+_0, \ g(x)=x^2</math>
:<math>h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}, \ h(x)=\sqrt x</math>
其中<math>\mathbb{R}^+_0 = \mathbb{R}^+\cup \{0\}</math>。

# 因為<math>f(x)=x^2</math>，函數<math>f</math>的輸出值皆為正數，所以<math>f</math>的值域為<math>\mathbb{R}^+_0</math>，也就是<math>[0,\infty)</math>區間。又因<math>\mathbb{R}^+_0 \subset \mathbb{R}</math>，即<math>f</math>的對應域不等於值域，所以<math>f</math>不是一個滿射函數。
# 雖然<math>f</math>和<math>g</math>函數的輸出值相同，但因為兩者的對應域不同，因此不是相同的函數。
# 因為<math>f</math>的對應域不等於<math>h</math>的定義域，[[合成函數]] <math>h \circ f</math>為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時，該合成函數才有效，例如<math>h \circ g</math>。
===例二===
定義<math>T</math>為介於兩個[[線性空間]]的[[線性變換]]：
:<math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</math>
<math>T</math>也可以被表達成一個{{math|2×2}}的實數[[矩陣]]，代表一個從定義域<math>\mathbb{R}^2</math>到對應域<math>\mathbb{R}^2</math>的對應方式。
假設
:<math>T = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \end{bmatrix}</math>
則代表把所有定義域中的點<math>(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> 對應到對應域中的點 <math>(x,x)\in \mathbb{R}^2</math>。由於<math>T</math>的值域只蒐集了所有<math>x=y</math>的點，例如點<math>(2,3)</math>不在<math>T</math>的值域中，但在<math>T</math>的對應域<math>\mathbb{R}^2</math>中，因此<math>T</math>不是一個滿射函數。

在此例中，{{math|2×2}}的矩陣在[[秩]]（{{Lang|en|rank}}）等於2時，為滿射函數，小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩（{{Lang|en|full rank}}）的依據，因為<math>T</math>的值域小於對應域，所以<math>T</math>沒有滿秩。

== 相关条目 ==

* [[定义域]]
* [[值域]]
* [[函數]]

[[Category:集合論基本概念|S]]
[[Category:函数]]