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在[[数值分析]]中，'''割线法'''是一个[[求根算法]]，该方法用一系列[[割线]]的根来近似代替[[函数]]''f''的根。

== 方法 ==

[[File:Secant method.svg|thumb|300px|割线法的最初两个迭代。红色曲线表示函数''f''，蓝色曲线表示割线。]]
割线法由以下的[[递推关系]]定义：

:<math>x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n). </math>

从上式中可以看出，割线法需要两个初始值''x''<sub>0</sub>和''x''<sub>1</sub>，它们离函数的根越近越好。

== 方法的推导 ==

给定''x''<sub>''n''−1</sub>和''x''<sub>''n''</sub>，我们作通过点(''x''<sub>''n''−1</sub>, ''f''(''x''<sub>''n''−1</sub>))和(''x''<sub>''n''</sub>, ''f''(''x''<sub>''n''</sub>))的直线，如右图所示。注意这条直线是函数''f''的[[割线]]，或弦。这条割线的[[斜率|点斜式直线方程]]为：

:<math> y - f(x_n) = \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} (x-x_n). </math>

我们现在选择''x''<sub>''n''+1</sub>为这条割线的根，因此''x''<sub>''n''+1</sub>满足以下的方程：

:<math> f(x_n) + \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} (x-x_n) = 0. </math>

解这个方程，便可以得出割线法的递推关系。

== 收敛 ==

如果初始值''x''<sub>0</sub>和''x''<sub>1</sub>离根足够近，则割线法的第''n''次迭代''x''<sub></sub>收敛于''f''的一个根。[[收敛速率]]为α，其中：
:<math> \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 </math>
是[[黄金比]]。特别地，收敛速率是超线性的。

这个结果只在某些条件下才成立，例如''f''是连续的二阶可导函数，且函数的根不是重根。

如果初始值离根太远，则不能保证割线法收敛。

== 参见 ==
{{求根演算法}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20081017170057/http://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/RootFinding/SecantMethod/SecantMethod.html 割线法的动画]
* {{MathWorld|urlname=SecantMethod|title=Secant Method}}
*[https://web.archive.org/web/20081021053130/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/SecantMethodMod.html John H. Mathews所作的割线法教程]