查看“动能”的源代码

{{noteTA
|G1=Physics
}}
[[File:Wooden roller coaster txgi.jpg|thumb|220px|車子在斜坡上的位置不同，其動能與[[势能]]（位能）亦不相同。]]
'''动能'''是物质运动时所得到的[[能量]]。它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的[[功]]。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的[[速率]]，也就是有不同的动能。动能的国际单位是[[焦耳]]（J），以[[国际标准单位|基本单位]]表示是千克米平方每秒平方（kg·m<sup>2</sup>·s<sup>-2</sup>）<ref name=zzm>{{cite book|title=高中物理竞赛教程.基础篇|author=赵志敏|publisher=复旦大学出版社|ISBN=978-7-309-08251-7|date=2011年10月|page=P139}}</ref>。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

== 经典力学 ==
在[[经典力学]]，一个[[质点]]（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的[[刚体]]的动能、[[速率]]与[[质量]]的关系是：
:<math>E_k = \frac{1}{2}mv^2</math>

其中<math>E_k</math>代表动能，<math>m</math>代表[[质量]]及<math>v</math>代表[[速率]]。<ref name=zzm/>

而当一个物体的质量不变，一个物体[[平移]]的动能、速率与质量的关系亦同上

一个物体的动能与[[動量]]的关系为：
:<math>E_k = \frac{p^2}{2m}</math>

其中<math>E_k</math>代表动能，<math>p</math>代表动量的数值及<math>m</math>代表质量。

=== 推导与定义 ===
我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来[[静止]]，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的[[功]]。

:<math>W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}</math>

其中<math>W</math>代表功，<math>\vec{F}</math>代表物体所受到的总共的作用力，<math>\vec{s}</math>代表物体的位移。

根据牛顿第二定律，

:<math>\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}</math>

其中<math>\vec{F}</math>代表[[力]]，<math>\vec{p}</math>代表[[动量]]和<math>t</math>代表[[时间]]。

动量、速度与质量的关系为：

:<math>\vec{p}=m\vec{v}</math>

其中<math>\vec{p}</math>代表动量，<math>m</math>代表[[质量]]及<math>\vec{v}</math>代表[[速度]]。

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

:<math>W = \int \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \vec{v} \cdot d\vec{v} =\frac{1}{2} \int m d (\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{1}{2}mv^2 + C_0</math>

其中<math>W</math>代表[[功]]，<math>\vec{p}</math>代表[[动量]]，<math>t</math>代表[[时间]]，<math>\vec{v}</math>代表[[速度]]，<math>v</math>代表[[速率]]，<math>m</math>代表[[质量]]，<math>C_0</math>代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，

:<math>E_k = \frac{1}{2}mv^2</math>

其中<math>E_k</math>代表动能，<math>m</math>代表质量及<math>v</math>代表速率。

=== 自转的物体 ===
如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一[[质点]]的平移动能的和。

:<math>E_r = \frac{1}{2} \int v^2 dm = \frac{1}{2} \int r^2 \omega^2 dm = \frac{1}{2} \omega^2 \int r^2 dm = \frac{1}{2} I \omega^2</math>

其中<math>E_r</math>代表自转动能，<math>v</math>代表[[速率]]，<math>\omega</math>代表[[角速度]]，<math>m</math>代表[[质量]]及<math>r</math>代表质点到旋转轴间的[[距离]]。

== 相对论 ==
在[[狭义相对论]]中，我们必须改变线性动量的表达式。

使用<math>m</math>表示[[靜止質量|静止质量]]，<math>\mathbf{v}</math>和<math>v</math>分别表示物体的速度和速率， 而<math>c</math>表示真空中的光速，我们假设线性动量<math>\mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}</math>， 其中<math>\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}</math>

[[分部積分法|分部积分]]得到

:<math>E_\text{k} = \int \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p}= \int \mathbf{v} \cdot d (m \gamma \mathbf{v}) = m \gamma \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - \int m \gamma \mathbf{v} \cdot d \mathbf{v} = m \gamma v^2 - \frac{m}{2} \int \gamma d (v^2)</math>
回忆<math>\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\!</math>，我们得到：
:<math>\begin{align}
E_\text{k} &= m \gamma v^2 - \frac{- m c^2}{2} \int \gamma d (1 - v^2/c^2) \\
    &= m \gamma v^2 + m c^2 (1 - v^2/c^2)^{1/2} - E_0
\end{align}</math>
其中<math>E_0</math>作为积分常数。
于是:
:<math>\begin{align}
E_\text{k} &= m \gamma (v^2 + c^2 (1 - v^2/c^2)) - E_0 \\
    &= m \gamma (v^2 + c^2 - v^2) - E_0 \\
    &= m \gamma c^2 - E_0
\end{align}</math>
通过观察<math>\mathbf{v }= 0 , \ \gamma = 1\!</math> 且 <math> E_\text{k} = 0 \!</math>，得到积分常数<math>E_0</math>应为
:<math>E_0 = m c^2 \,</math>
并给出通常的公式
:<math>E_\text{k} = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2</math>

===極限===
:<math>\lim_{v\rightarrow c}E_\text{k}=\infty</math>
當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

<br />
利用[[泰勒公式]]：
:<math> 
\begin{align}
E_\text{k} &= \frac{m c^2}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} - m c^2\\
           &= mc^2 (1 + \frac{1}{2} v^2/c^2  + \frac{3}{8} v^4/c^4 +\cdots) - m c^2\\
           &= mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \frac{3}{8}{mv^4/c^2} + \cdots - m c^2\\
           &\approx \frac{1}{2} m v^2
\end{align}
</math>
低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

==参考文献==
{{reflist}}
== 參見 ==
* [[势能]]（又称"位能"）
* [[机械能]]
* [[能量]]
* [[相对论]]
* [[牛顿运动定律]]
{{經典力學}}

[[Category:動力學]]
[[Category:能量]]
[[Category:基本物理概念]]