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在[[数学]]，尤其在[[辛几何]]中，'''动量映射'''是一个与[[辛流形]]上的[[李群]]的[[哈密顿作用|哈密顿]][[群作用|作用]]有关的工具，可用于构造作用的[[守恒量]]。动量映射推广了经典的 [[动量]]和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分，包括将会在后面讨论的'''symplectic''' ('''Marsden–Weinstein''') '''quotients'''，以及[[symplectic cut]]s和[[symplectic sum|sums]]。

==正式定义==
令 ''M'' 是一个配有[[辛形式]] ω 的流形。假定一个李群 ''G'' 通过[[辛同胚]]作用在 ''M'' 上（也就是每个 ''G'' 中的 ''g''  保持 ω ）。令 <math>\mathfrak{g}</math> 是 ''G'' 上的[[李代数]]，<math>\mathfrak{g}^*</math> 是它的[[对偶空间|对偶]]，且令

:<math>\langle, \rangle : \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \mathbf{R}</math>

是两者间的pairing。任一<math>\mathfrak{g}</math>中的ξ诱导了 ''M'' 上的一个[[向量场]] ρ(ξ) 以描述ξ的无限小作用。更精确地说，向量场 <math>\rho(\xi)_x</math> 在''M''上一点''x''是

:<math>\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \exp(t \xi) \cdot x,</math>

其中 <math>\exp : \mathfrak{g} \to G</math> 是[[指数映射]]并且 <math>\cdot</math> 表示 ''M'' 上的 ''G''-作用。<ref>The vector field ρ(ξ) is called sometimes the [[Killing vector field#Generalizations|Killing vector field]] relative to the action of the [[Exponential map#Definitions|one-parameter subgroup]] generated by ξ. See，for instance，{{harv|Choquet-Bruhat|DeWitt-Morette|1977}}</ref>令 <math>\iota_{\rho(\xi)} \omega \,</math> 表示 向量场与 ω 的[[内乘|缩并]]。由于 ''G'' 通过辛同胚作用，它意味着对于 <math>\mathfrak{g}</math> 中所有的ξ，<math>\iota_{\rho(\xi)} \omega \,</math> 是[[闭且恰当的微分形式|闭形式]]。

一个在(''M''，ω)上的 ''G''-作用的'''动量映射'''是一个映射 <math>\mu : M \to \mathfrak{g}^*</math>，对于 <math>\mathfrak{g}</math> 中所有的ξ满足

:<math>d(\langle \mu, \xi \rangle) = \iota_{\rho(\xi)} \omega</math>

。这里 <math>\langle \mu, \xi \rangle</math> 是通过 <math>\langle \mu, \xi \rangle(x) = \langle \mu(x), \xi \rangle</math> 定义的从 ''M'' 到 '''R''' 的函数。动量映射在差一个积分的常数的程度上是唯一定义的。

一个动量映射经常也要求是 ''G''-等价的，这里 ''G'' 通过[[余伴随作用]]作用在 <math>\mathfrak{g}^*</math> 上。如果群是紧的或半单的，那么总是选择积分常数使动量映射是余伴随等价的; 但是通常余伴随作用必须被修正以使映射等价(this is the case for example for the [[Euclidean group]]). The modification is by a 1-[[Group cohomology|cocycle]] on the group with values in <math>\mathfrak{g}^*</math>，as first described by Souriau (1970).

==哈密顿群作用==
动量映射的定义要求 <math>\iota_{\rho(\xi)} \omega</math>是[[闭且恰当的微分形式|闭形式]]。在实际中一个更强的假定是有用的。''G''-作用被称作是'''哈密顿'''的当且仅当当以下的条件满足。首先，对于 <math>\mathfrak{g}</math> 中的每一个ξ，1-形式 <math>\iota_{\rho(\xi)} \omega</math> 是恰当的，这意味着它对于一些光滑函数

:<math>H_\xi : M \to \mathbf{R}.</math>

等于 <math>dH_\xi</math> 。
如果这成立，那么我们可以选择 <math>H_\xi</math> 使映射 <math>\xi \mapsto H_\xi</math> 为线性。第二个使''G''-作用是哈密顿的的要求是映射 <math>\xi \mapsto H_\xi</math> 是一个从 <math>\mathfrak{g}</math> 到 ''M'' 在[[泊松括号]]下的光滑函数的代数的李代数同态。

如果 ''G'' 在(''M''，ω)上的作用在这个意义上是哈密顿的，那么一个动量映射是映射 <math>\mu : M\to \mathfrak{g}^*</math> ，这样 <math>H_\xi = \langle \mu, \xi \rangle</math> 定义了一个李代数同态 <math>\xi \mapsto H_\xi</math> 满足 <math>\rho(\xi) = X_{H_\xi}</math>. 这里 <math>X_{H_\xi}</math> 是一个由哈密顿函数 <math>H_\xi</math> 通过

:<math>\iota_{X_{H_\xi}} \omega = d H_\xi.</math>

定义的向量场。
==例子==
In the case of a Hamiltonian action of the circle ''G'' = U(1)，the Lie algebra dual <math>\mathfrak{g}^*</math> is naturally identified with '''R'''，and the 动量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when ''M'' is the [[cotangent bundle]] of '''R'''<sup>3</sup> and ''G'' is the [[Euclidean group]] generated by rotations and translations. That is，''G'' is a six-dimensional group，the [[semidirect product]] of SO(3) and '''R'''<sup>3</sup>. The six components of the 动量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

== Symplectic quotients ==
Suppose that the action of a [[compact Lie group]] ''G'' on the symplectic manifold (''M''，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 动量映射 <math>\mu : M\to \mathfrak{g}^*</math>. From the Hamiltonian condition it follows that <math>\mu^{-1}(0)</math> is invariant under ''G''.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that ''G'' acts freely and properly on <math>\mu^{-1}(0)</math>. Thus <math>\mu^{-1}(0)</math> and its [[Quotient space (topology)|quotient]] <math>\mu^{-1}(0) / G</math> are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from ''M''; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose [[pullback (differential geometry)|pullback]] to <math>\mu^{-1}(0)</math> equals the restriction of ω to <math>\mu^{-1}(0)</math>. Thus the quotient is a symplectic manifold，called the '''Marsden–Weinstein quotient'''，'''symplectic quotient''' or '''symplectic reduction''' of ''M'' by ''G'' and is denoted <math>M/\!\!/G</math>. Its dimension equals the dimension of ''M'' minus twice the dimension of ''G''.

==参见==
* [[Poisson-Lie group]]
* [[Toric manifold]]
* [[Geometric Mechanics]]
* [[Kirwan map]]

==注释==
{{Reflist}}

==参考资料==
* J.-M. Souriau, ''Structure des systèmes dynamiques'', Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
* [[S. K. Donaldson]] and P. B. Kronheimer, ''The Geometry of Four-Manifolds'', Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
* [[Dusa McDuff]] and Dietmar Salamon, ''Introduction to Symplectic Topology'', Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
*{{Citation
  |last = Choquet-Bruhat
  |first = Yvonne
  |authorlink = Yvonne Choquet-Bruhat
  |first2 = Cécile |last2=DeWitt-Morette| title = Analysis, Manifolds and Physics| publisher = Elsevier| year= 1977| location = Amsterdam |ISBN = 978-0-7204-0494-4}}
* {{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}

{{DEFAULTSORT:Moment Map}}
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Group actions]]