查看“包立方程式”的源代码

{{Veil|time=2015-09-12T06:27:06+00:00}}
{{noteTA
|G1=物理學
}}
{{向量字體常規}}
'''包立方程式'''或稱'''薛丁格-包立方程式'''，為描述帶有[[自旋1/2]]的粒子在與[[電磁場]]交互作用下的修正方程式（自旋1/2粒子例如[[電子]]）。在此之前，用以描述粒子行為的[[薛丁格方程式]]則未考慮到粒子[[自旋]]的性質。其為[[狄拉克方程式]]在[[相對論|非相對論]]極限下的特例，應用在粒子速度慢到相對論效應可以忽略的場合。

包立方程式是由[[沃爾夫岡·包立]]於1927年所建構。

== 方程式 ==
一自旋粒子具有[[質量]]''m''、[[電荷]]''q''，於外加電磁場中運動；外加電磁場可以[[電勢|純量勢]]''ϕ''、[[磁向量勢|向量勢]]'''A''' = (''A<sub>x</sub>'', ''A<sub>y</sub>'', ''A<sub>z</sub>'')來描述。包立方程式可描述外加[[電磁場]]與自旋交互作用的影響：
{{Equation box 1
|title='''包立方程式''' （廣義形式）
|indent =:
|equation = <math>\left[ \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle  </math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

其中
:<math>\mathbf{p}</math>為[[動量算符]]（'''p''' = −iħ∇，∇為[[梯度|梯度算符]]），
:<math>\vec{\sigma}</math>為[[包立矩陣]]，
:<math>|\psi\rangle := \begin{pmatrix} |\psi_+\rangle \\
                                       |\psi_-\rangle
\end{pmatrix}</math>為包立[[旋量]]。

兩個旋量分量都滿足[[薛丁格方程式]]
:<math> \hat{H}|\psi\rangle=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle </math>，
這表示系統是有額外但[[簡併]]的的自由度。

另可看出包立方程式的[[哈密頓算符]]為：
:<math>\hat{H} = \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))^2 + q \phi</math>

因包立矩陣的存在，此哈密頓算符為2 × 2矩陣[[算符]]。包立方程式的哈密頓算符形似於帶電粒子在電磁場中的古典哈密頓算符，但後者沒有考慮到自旋。

包立矩陣可以從[[動能]]項中移出，只要使用包立矩陣的關係式：
:<math>(\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{a})(\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{b}) =  \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + i\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right)</math>

將'''p''' = −iħ∇代入，可得到<ref>{{Cite book|title=Physics of Atoms and Molecules|author=Bransden, BH|author2=Joachain, CJ|year=1983|publisher=Prentice Hall|edition=1st|page=638-638|isbn=0-582-44401-2}}</ref>
:<math>\hat{H} = \frac{1}{2m}\left[\left(\mathbf{p} - q \mathbf{A}\right)^2 - q \hbar \boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{B}\right] + q \phi</math>

其中'''B''' = ∇ × '''A'''，即[[磁場]]。

== 與斯特恩-革拉赫實驗的關係 ==
包立方程式可分拆為兩項：
{{Equation box 1
|title='''包立方程式''' （磁場'''B'''）
|indent =:
|equation = <math>
\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi_\pm \rangle = \left( \frac{(\mathbf{p} - q \mathbf{A})^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 |\psi_\pm\rangle}_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{B} |\psi_\pm\rangle}_\text{Stern-Gerlach term}</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

同上述，
: <math>|\psi_\pm \rangle </math>為包立旋量，
: <math> \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y, \sigma_z) </math>為[[包立矩陣]]所構成的包立向量，
: '''B'''為外加[[磁場]]，與[[磁向量勢]]'''A'''的關係為：<math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math>，

而
: <math> \hat 1 </math>為二階[[單位矩陣]]<math> \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} </math>。

左半部為薛丁格方程式（上式Schrödinger equation），右半部[[斯特恩-革拉赫實驗|斯特恩-革拉赫項]]（上式Stern-Gerlach term）。如此可解釋帶有一個[[價電子]]的原子何以得到得到自旋取向，例如流過不均勻磁場的[[銀|銀原子]]。相似地，比如在[[塞曼效應|反常塞曼效應]]，這一項造成磁場中的譜線（對應到能階）分裂。

== 與薛丁格方程式、狄拉克方程式的關係 ==
包立方程式為非相對論性的量子力學方程式，但其能描述自旋相關的行為，因此其具有薛丁格方程式與[[狄拉克方程式]]的中介角色：
* 常見的薛丁格方程式（作用於[[複數|複]][[純量]][[波動方程式]]），非相對論性，也無法描述自旋。
* 狄拉克方程式（作用於[[狄拉克旋量|複數四分量旋量]]），完整地考慮了[[狹義相對論|相對論效應]]，可描述自旋。

注意到：若磁向量勢'''A'''為零，包立方程式則約化為一個在純[[電勢]]''ϕ''中運動的帶電粒子之薛丁格方程式：
: <math>\left[ \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + q \phi \right] \begin{pmatrix} 
\psi_+ \\
\psi_-
\end{pmatrix} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} 
\psi_+ \\
\psi_-
\end{pmatrix}  </math>

但因為包立矩陣的存在，此方程式是作用在二分量旋量上的。因此僅當磁場存在時，粒子自旋才會對粒子的運動發揮影響。

{{HideH|由狄拉克方程式推導包立方程式}}
自[[狄拉克方程式]]開始，設定弱的電磁場交互作用：
<center><math>
i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right)
</math></center>
其中<math>\vec \pi = \vec p - q \vec A </math>

利用到如下近似：

* 透過如下[[擬設]]對方程式做簡化
::<math>\left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array}  \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right)
</math>
* 透過緩慢時間相依性的前提去除掉[[靜能量]]
::<math>\partial_t \vec \varphi_i \ll \frac{mc^2}{\hbar} \vec \varphi_i</math>
* 與[[電場]][[勢]]有弱的耦合
::<math>q \phi \ll mc^2 </math>
{{HideF}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* {{en}}[http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node479.html The Schrödinger-Pauli Hamiltonian]
* {{en}}[http://arxiv.org/abs/1207.5752 The relativistic Pauli equation]

{{Quantum mechanics topics}}

[[Category:量子力學|B]]
[[Category:方程|B]]