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[[File:Unit disc.svg|thumb|right|从上到下：[[欧几里得度量]]、[[出租车度量]]与[[切比雪夫度量]]中的开单位圆盘。]]

[[数学]]中，绕[[平面 (数学)|平面]]上给定点 ''P'' 的'''开单位圆盘'''（{{lang|en|open unit disk}}），是与 ''P'' 的[[距离]]小于 1 的点[[集合]]：

:<math>D_1(P) = \{ Q : \vert P-Q\vert<1\}.\,</math>

绕 ''P'' 的'''闭单位圆盘'''（{{lang|en|closed unit disk}}）是与 ''P'' 的距离小于或等于 1 的点集合：

:<math>\bar D_1(P)=\{Q:|P-Q| \leq 1\}.\,</math>

单位圆盘是[[圆盘]]与[[单位球体]]的特例。

若无其它修饰语，术语单位圆盘用于绕[[原点]]关于[[欧几里得度量|标准欧几里得度量]]的开单位圆盘 <math>D_1(0)</math>。它是以原点为中心的半径为 1 的[[圆周]]的内部。这个集合可以与所有[[绝对值]]小于 1 的[[复数]]等价。当视为复平面 '''C''' 的一个[[子集]]时，开单位圆盘经常记作 <math>\mathbb{D}</math>。

== 开单位圆盘、平面、上半平面 ==
函数

:<math>f(z)=\frac{z}{1-|z|^2}</math>

是一个从开单位圆盘到平面的实[[解析函数|解析]][[双射]]函数；它的逆函数也是解析的。作为实二维[[解析流形]]，从而开单位圆盘同构于整个平面。特别地，开单位圆盘[[同胚]]于整个平面。

但在开单位圆盘与整个平面之间没有[[共形映射|共形]]双射函数。作为一个[[黎曼曲面]]，从而开单位圆盘与[[复平面]]不同。

在开单位圆盘与开[[上半平面]]之间存在共形双射。所以作为黎曼曲面，开单位圆盘（双全纯或共形等价）同构于上半平面，两者经常是可以互换的。

更一般地，[[黎曼映射定理]]指出复平面的每个[[单连通]][[开集|开子集]]若不同于复平面自己则有到开单位圆盘的一个共形双射。

一个从开单位圆盘到开上半平面的共形双射是[[莫比乌斯变换]]

:<math>g(z)=i\frac{1+z}{1-z}.</math>

几何上，我们可想象[[实轴]]弯曲收缩使得上半平面成为圆盘的内部而实轴成为圆盘的边界，只在最上面留下[[无穷远点]]。从单位圆盘到上半平面的一个共形双射也可构造为两个[[球极平面投影]]的复合：首先去单位球面的南极点作为投影中心，单位圆盘向上球极投影到单位上半球面；然后这个半球面投影到与该球面相切的一个竖直半平面，取投影中心为切点在球面上的对径点。

单位圆盘与上半平面作为[[哈代空间]]不是可互换的区域。这个差别是因为单位圆周有有限（一维）[[勒贝格测度]]但实直线不是。

== 拓扑概念 ==

如果考虑作为带有标准[[拓扑空间|拓扑]]的平面的[[子空间拓扑|子空间]]，开单位圆盘是一个[[开集]]，而闭单位圆盘是一个[[闭集]]。开或闭单位圆盘的[[边界 (拓扑学)|边界]]是[[单位圆周]]。

开单位圆盘与闭单位圆盘不是微分同胚的，因为后者是[[紧集]]而前者不是。但是从[[代数拓扑]]的视角来看他们有许多同样的性质：两者都是[[可缩空间|可缩]]的从而同伦等价于一个单点。这意味着他们的[[基本群]][[平凡群|平凡]]，且所有[[同伦群]]除了第零个同构于 '''Z''' 之外都是平凡的。一个点（从而对开或闭圆盘也对）的[[欧拉示性数]]等于 1。

任意从闭单位圆盘到自身的[[连续映射]]至少有一个[[不动点]]（我们甚至不要求[[双射]]或[[满射]]）；这是[[布劳威尔不动点定理]] ''n''=2 的情形。这个论断对开单位圆盘不成立：考虑映射

:<math>f(x,y)=\left(\frac{x+\sqrt{1-y^2}}{2},y\right),\,</math>

它将开单位圆盘的每个点稍微向右移动。

开单位圆盘的[[单点紧化]]同胚于[[球面]]：想象开单位圆盘的边界向上弯曲收缩，直到它成为一点；这说明开单位圆盘同胚于去掉北极点的球面；添上那点成为（紧）球面。

== 双曲空间 ==

通过开单位圆盘上引入一个新度量（[[庞加莱度量]]），开单位圆盘常常作为[[双曲平面]]的一个模型。利用如上提到的开单位圆盘与上半平面的共形映射，这个模型可转换成双曲平面的[[庞加莱半平面模型]]。庞加莱圆盘与庞加莱半平面都是双曲空间的共形模型，即模型中的角度与双曲空间中的角度相同，从而保持了小图形的形状（但不保持尺寸）。

双曲平面的另一个模型也是构造在开单位圆盘上：[[克莱因模型]]。它不是共形的，但这个模型中的直线对应于双曲空间中的直线。

== 关于其它度量的单位圆盘 ==

数学中也考虑关于其它[[度量]]的单位圆盘。例如关于[[出租车度量]]与[[切比雪夫距离]]的圆盘看起来像正方形（但它们的拓扑与欧几里得情形是一样的）。

欧几里得圆盘的面积是 [[圆周率|π]]而[[周长]]是 2π。与之相比地是，出租车几何中单位圆盘的周长（相对于出租车度量）是 8。1932年，{{tsl|en|Stanisław Gołąb|Stanisław Gołąb}} 证明了在由一个[[范数]]给出的度量中，单位圆盘的周长可取 6 与 8 之间的任何值，且得到极值当且仅当单位圆盘分别是正[[六边形]]与[[平行四边形]]。

== 相关条目 ==
* {{tsl|en|Unit disk graph|Unit disk graph|单位圆盘图}}

== 参考文献 ==
* S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.

== 外部链接 ==
* {{mathworld | urlname = UnitDisk | title = Unit disk}}
* [https://web.archive.org/web/20080704123740/http://www.math.poly.edu/~alvarez/pdfs/disc.pdf On the Perimeter and Area of the Unit Disc], by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson

[[Category:圆]]
[[Category:一]]