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'''卡羅爾質數'''是可以用<math>4^n - 2^{n + 1} - 1</math>或<math>(2^n - 1)^2 - 2</math>表示的[[质数]]，前幾個卡羅爾數是：[[1]]、[[7]]、[[47]]、[[223]]、[[959]]、[[3967]]、[[16127]]、[[65023]]、[[261119]]、[[1046527]] {{OEIS|id=A093112}}。

這些數字最早是由克萊斯圖斯·伊曼紐爾（Cletus Emmanuel）研究，他以以朋友卡羅爾·基農（Carol G. Kirnon）的名字命名。<ref>[http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=374 克萊斯圖斯·伊曼紐爾]的原始頁面</ref><ref>[https://groups.yahoo.com/neo/groups/primenumbers/conversations/messages/14584 Message to Yahoo primenumbers group] from Cletus Emmanuel</ref>

==二進制表示式==
在''n'' > 2時，第n個卡羅爾數在二進制下，可以表示為''n'' &minus; 2 個連續的1，中間一個零，''n'' + 1個連續的1，或者可以表示如下：

:<math>\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.</math>

例如，47的二進制為101111，223的二進制是11011111，第2''n''個[[梅森數]]和第n個卡羅爾數的間的差是<math>2^{n + 1}</math>，因此可得卡羅爾數的另一個等效表示式<math>(2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}</math>。第n個[[凱尼亞質數]]會比第n個卡羅爾質數多[[2的幂|2的''n''+2次方]]。

==參考文獻==
{{reflist}}
{{數小作品}}
[[Category:整數數列]]
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