查看“卡諾定理 (熱力學)”的源代码

{{NoteTA
|G1=Physics
}}
{{热力学}}

'''卡諾定理'''是[[熱力學]]中的一個定理，說明[[熱機]]的最大[[熱效率]]只和其高溫熱源和低溫熱源的溫度有關。此定理以[[尼古拉·卡諾]]為名。

根據卡諾定理，則
*所有[[不可逆性|不可逆]]的熱機，其熱效率會比使用相同高溫和低溫熱源的[[卡諾循環|卡諾熱機]]要低。
*所有[[可逆過程|可逆]]的熱機，其熱效率會等於相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機。

依卡諾定理可得到一熱機的最大熱效率<math>\eta</math>（也稱作卡諾效率）為
:<math>\eta_{\text{max}} = \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}</math>

其中
*''T<sub>C</sub>''為低溫熱源的[[絕對溫度]]
*''T<sub>H</sub>''為高溫熱源的[[絕對溫度]]

上式的熱效率是指熱機產生的功和高溫熱源提供能量的比值。

上述定律其實是[[熱力學第二定律]]的結果。不過當初在推導此定律時是以[[熱質說]]為基礎，且以此定律為基礎建立[[熱力學第二定律]]。<ref>{{cite web|url=http://www.sussex.ac.uk/chemistry/documents/a_thermodynamics_history.pdf |title=A Very Brief History of Thermodynamics |author=John Murrell |accessdate=October 5, 2010 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20091122191251/http://www.sussex.ac.uk/chemistry/documents/a_thermodynamics_history.pdf |archivedate=十一月 22, 2009 }}</ref>

==證明==
[[Image:Proving_Carnot_Theorem.svg|300px|thumb|證明卡諾定理]]

此定理可用以下的方式，針對不可逆熱機及可逆熱機的情形進行證明<ref name=CarnotThoerem>{{cite web
|url=http://seit.unsw.adfa.edu.au/staff/sites/hrp/Literature/articles/CarnotTheorem.pdf
|title=Lecture 10: Carnot theorem
|date=Feb 7, 2005
|accessdate=October 5, 2010}}</ref>

===不可逆熱機===
假設一不可逆熱機，其熱源為<math>T_1</math>及<math>T_2</math>，其熱效率為<math>\eta</math>，此熱機和一個效率為<math>\eta\prime</math>的逆[[卡諾熱機]]，依右圖的方式組合成一個熱力學循環，不可逆熱機產生的功為逆卡諾熱機的工作來源。

若<math>\eta=\eta\prime</math>，則此熱力學循環對系統沒有任何影響，與[[不可逆性]]矛盾，因此不成立。

若<math>\eta>\eta\prime</math>，則此熱力學循環可由低溫熱源<math>T_2</math>取出
:<math>\Delta Q=\eta Q\left(\frac{1}{\eta\prime}-1\right)-(1-\eta)Q=Q\left(\frac{\eta}{\eta\prime}-1\right)>0</math> 
的能量，將此能量釋放到高溫熱源<math>T_1</math>，且不引起其他變化，違反[[熱力學第二定律]]，也無法成立。

因此結論為<math>\eta<\eta\prime</math>，不可逆熱機的效率<math>\eta</math>較卡諾熱機的效率<math>\eta\prime</math>低。

===可逆熱機===
對於可逆熱機的例子，可依類似的方式得到<math>\eta\leqslant\eta\prime</math>的結果。

若用待測的可逆熱機當成逆熱機，和一般的卡諾熱機形成一個熱力學循環，也可得到<math>\eta\prime\leqslant\eta</math>的結果。

由於上述二式需同時成立，可得以下的式子

:<math>\eta=\eta\prime</math>

==應用在燃料電池上==
有關卡諾定理是否能應用在[[燃料電池]]，至今科學家還沒有達成共識。[[凱斯西儲大學]]的教授認為「由於燃料電池中的電化學反應不涉及將熱能轉換為機械能，因此不受卡諾定理的限制」<ref>{{cite web
|url=http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:KkaC5XqVzVgJ:filer.case.edu/org/hsfcproject/Unit%252036/36.1.3%2520Fuel%2520Cell%2520versus%2520Carnot%2520Efficiency.ppt+%22carnot+limit%22+%22fuel+cell%22&hl=en&gl=us&pid=bl&srcid=ADGEESj0jJDxV7N40e6SinnUfC9X_wqU6GHB4aPX6BlFRSYsfeixt1hGvyGLMAthvrl_Ws6k4r-Z8AdtYkjDqhVrIUwjO6rSA8y5JnGnqt73LWITIpc3KdeTUBe24GkaZcLs1BpHUxh5&sig=AHIEtbROSMlotD3mw6tegO0_v-uhvVwI2g
|title=Fuel Cell versus Carnot Efficiency
|accessdate=Feb 20, 2011}}</ref>。不過K. T. Jacob及Saurabh Jain則認為「傳統的觀點認為燃料電池不受卡諾定理的限制，不過最近幾篇論文都認為熱力學第二定律不但限制熱機的效率，也以同樣方式限制燃料電池的效率」<ref>{{cite web
|url=http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=17183054
|title=Fuel cell efficiency redefined : Carnot limit reassessed
|accessdate=Feb 20, 2011}}</ref>

==參考資料==
{{reflist|2}}

[[Category:热力学]]
[[Category:物理定理]]