查看“卢卡斯数”的源代码

{{Expand|time=2013-02-14T05:25:43+00:00 }}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''卢卡斯数'''是一个以数学家[[爱德华·卢卡斯]]命名的[[整数序列]]，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的[[斐波那契数]]。与[[斐波那契数]]一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个[[斐波那契整数序列]]。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于[[黄金分割比]]。

但是，最初两个卢卡斯数是''L''<sub>0</sub> = 2和''L''<sub>1</sub> = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同。

卢卡斯数可以定义如下：

:<math> 
  L_n = L(n)=
  \begin{cases}
    2             & \mbox{if } n = 0; \\
    1             & \mbox{if } n = 1; \\
    L(n-1)+L(n-2) & \mbox{if } n > 1. \\
   \end{cases}
 </math>

前几个卢卡斯数是：
:[[2]], [[1]], [[3]], [[4]], [[7]], [[11]], [[18]], [[29]], [[47]], [[76]], [[123]], ... {{OEIS|id=A000032}}

==延伸到负数==
用L<sub>n-2</sub> = L<sub>n</sub> - L<sub>n-1</sub>的公式，我们可以把卢卡斯数延伸到负数。这样我们得到以下数列：

(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)

一般地，我们有
*<math>L_{-n}=(-1)^nL_n.\!</math>

==与斐波那契数的关系==
卢卡斯数与斐波那契数有以下关系：
* <math>\,L_n = F_{n-1}+F_{n+1}</math>
* <math>\,L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n</math>，因此，当<math>n\,</math>趋近于[[无穷大]]时，<math>L_n \over F_n\,</math>趋近于<math>\sqrt{5}\, </math>。
* <math>\,F_{2n} = L_n F_n</math>
* <math>\,F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}</math>

[[通项公式]]为：
:<math>L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, ,</math>

其中<math>\varphi</math>是[[黄金分割比]]。

==同余关系==
如果n是素数，则L<sub>n</sub>被n除余1，但某些合数也具有这个性质。

==卢卡斯素数==
卢卡斯素数就是既是卢卡斯数又是素数的整数。最小的几个卢卡斯素数为：

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... {{OEIS|id=A005479}}

除了''n'' = 0、4、8、16的情况外，如果''L<sub>n</sub>''是素数，则''n''是素数。但是，它的[[逆命题]]不成立。
==參考==
*[[卢卡斯数列]]
==参考文献==
*Hoggatt, V. E. Jr. ''The Fibonacci and Lucas numbers''. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.
* Hrant Arakelian. ''Mathematics and History of the Golden Section'', Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html MathWorld]
*[https://web.archive.org/web/20051126021243/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html Dr Ron Knott]
*[https://web.archive.org/web/20051030021553/http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html 卢卡斯数与黄金分割]
*[https://web.archive.org/web/20070216024906/http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp 卢卡斯数计算器]

[[Category:整数数列|L]]
[[Category:斐波那契数]]